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2021年高考数学新高考Ⅱ-16

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16．（5分）已知函数

$f(x)=\vert e^{x}-1\vert$ ，

$x_{1}<0$ ，

$x_{2}>0$ ，函数

$f(x)$ 的图象在点

$A(x_{1}$ ，

$f(x_{1}))$ 和点

$B(x_{2}$ ，

$f(x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交

$y$ 轴于

$M$ ，

$N$ 两点，则

$\dfrac{\vert AM\vert }{\vert BN\vert }$ 的取值范围是______．
分析：分别求得

$x<0$ ，

$x>0$ 时，

$f(x)$ 的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令

$x=0$ ，可得

$M$ ，

$N$ 的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离公式，化简整理，可得所求范围．
解：当

$x<0$ 时，

$f(x)=1-e^{x}$ ，导数为

$f\prime (x)=-e^{x}$ ，
可得在点

$A(x_{1}$ ，

$1-e^{x\_{1}})$ 处的斜率为

$k_{1}=-e^{x\_{1}}$ ，
切线

$AM$ 的方程为

$y-(1-e^{x\_{1}})=-e^{x\_{1}}(x-x_{1})$ ，
令

$x=0$ ，可得

$y=1-e^{x\_{1}}+x_{1}e^{x\_{1}}$ ，即

$M(0,1-e^{x\_{1}}+x_{1}e^{x\_{1}})$ ，
当

$x>0$ 时，

$f(x)=e^{x}-1$ ，导数为

$f\prime (x)=e^{x}$ ，
可得在点

$B(x_{2}$ ，

$e^{x\_{2}}-1)$ 处的斜率为

$k_{2}=e^{x\_{2}}$ ，
令

$x=0$ ，可得

$y=e^{x\_{2}}-1-x_{2}e^{x\_{2}}$ ，即

$N(0,e^{x\_{2}}-1-x_{2}e^{x\_{2}})$ ，
由

$f(x)$ 的图象在

$A$ ，

$B$ 处的切线相互垂直，可得

$k_{1}k_{2}=-e^{x\_{1}}\cdot e^{x\_{2}}=-1$ ，
即为

$x_{1}+x_{2}=0$ ，

$x_{1}<0$ ，

$x_{2}>0$ ，
所以

$\dfrac{\vert AM\vert }{\vert BN\vert }=\dfrac{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{1}}}(-{x}_{1})}{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{2}}}\cdot {x}_{2}}=\dfrac{\sqrt{1+{e}^{-2{x}_{2}}}}{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{2}}}}=\dfrac{1}{{e}^{{x}_{2}}}\in (0,1)$ ．
故答案为：

$(0,1)$ ．
点评：本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

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