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2021年高考数学新高考Ⅱ-15<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-17
16．（5分）已知函数$f(x)=\vert e^{x}-1\vert$，$x_{1}<0$，$x_{2}>0$，函数$f(x)$的图象在点$A(x_{1}$，$f(x_{1}))$和点$B(x_{2}$，$f(x_{2}))$的两条切线互相垂直，且分别交$y$轴于$M$，$N$两点，则$\dfrac{\vert AM\vert }{\vert BN\vert }$的取值范围是______．
分析：分别求得$x<0$，$x>0$时，$f(x)$的解析式和导数，可得切线的斜率和方程，令$x=0$，可得$M$，$N$的坐标，再由两直线垂直的条件和两点的距离公式，化简整理，可得所求范围．
解：当$x<0$时，$f(x)=1-e^{x}$，导数为$f\prime (x)=-e^{x}$，
可得在点$A(x_{1}$，$1-e^{x\_{1}})$处的斜率为$k_{1}=-e^{x\_{1}}$，
切线$AM$的方程为$y-(1-e^{x\_{1}})=-e^{x\_{1}}(x-x_{1})$，
令$x=0$，可得$y=1-e^{x\_{1}}+x_{1}e^{x\_{1}}$，即$M(0,1-e^{x\_{1}}+x_{1}e^{x\_{1}})$，
当$x>0$时，$f(x)=e^{x}-1$，导数为$f\prime (x)=e^{x}$，
可得在点$B(x_{2}$，$e^{x\_{2}}-1)$处的斜率为$k_{2}=e^{x\_{2}}$，
令$x=0$，可得$y=e^{x\_{2}}-1-x_{2}e^{x\_{2}}$，即$N(0,e^{x\_{2}}-1-x_{2}e^{x\_{2}})$，
由$f(x)$的图象在$A$，$B$处的切线相互垂直，可得$k_{1}k_{2}=-e^{x\_{1}}\cdot e^{x\_{2}}=-1$，
即为$x_{1}+x_{2}=0$，$x_{1}<0$，$x_{2}>0$，
所以$\dfrac{\vert AM\vert }{\vert BN\vert }=\dfrac{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{1}}}(-{x}_{1})}{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{2}}}\cdot {x}_{2}}=\dfrac{\sqrt{1+{e}^{-2{x}_{2}}}}{\sqrt{1+{e}^{2{x}_{2}}}}=\dfrac{1}{{e}^{{x}_{2}}}\in (0,1)$．
故答案为：$(0,1)$．
点评：本题考查导数的运用：切线的方程，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
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