|
2021年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-19
18．（12分）在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边长为$a$，$b$，$c$，$b=a+1$，$c=a+2$．
（Ⅰ）若$2\sin C=3\sin A$，求$\Delta ABC$的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数$a$，使得$\Delta ABC$为钝角三角形？若存在，求出$a$的值；若不存在，说明理由．
分析：$(I)$根据已知条件，以及正弦定理，可得$a=4$，$b=5$，$c=6$，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，$(II)$由$c>b>a$，可推得$\Delta ABC$为钝角三角形时，角$C$必为钝角，运用余弦定理可推得$a^{2}-2a-3<0$，再结合$a>0$，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
解：$(I)\because 2\sin C=3\sin A$，
$\therefore$根据正弦定理可得$2c=3a$，
$\because b=a+1$，$c=a+2$，
$\therefore a=4$，$b=5$，$c=6$，
在$\Delta ABC$中，运用余弦定理可得$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{4}^{2}+{5}^{2}-{6}^{2}}{2\times 4\times 5}=\dfrac{1}{8}$，
$\because \sin ^{2}C+\cos ^{2}C=1$，
$\therefore \sin C=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\sqrt{1-(\dfrac{1}{8})^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$，
$\therefore$${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 4\times 5\times \dfrac{3\sqrt{7}}{8}=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$．
$(II)\because c>b>a$，
$\therefore \Delta ABC$为钝角三角形时，角$C$必为钝角，
$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{a}^{2}+(a+1)^{2}-(a+2)^{2}}{2a(a+1)}<0$，
$\therefore a^{2}-2a-3<0$，
$\because a>0$，
$\therefore 0<a<3$，
$\because$三角形的任意两边之和大于第三边，
$\therefore a+b>c$，即$a+a+1>a+2$，即$a>1$，
$\therefore 1<a<3$，
$\because a$为正整数，
$\therefore a=2$．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．
2021年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2021年高考数学新高考Ⅱ-19
全网搜索"2021年高考数学新高考Ⅱ-18"相关
|
