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2021年高考数学新高考Ⅱ-18

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18．（12分）在

$\Delta ABC$ 中，角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 所对的边长为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，

$b=a+1$ ，

$c=a+2$ ．
（Ⅰ）若

$2\sin C=3\sin A$ ，求

$\Delta ABC$ 的面积；
（Ⅱ）是否存在正整数

$a$ ，使得

$\Delta ABC$ 为钝角三角形？若存在，求出

$a$ 的值；若不存在，说明理由．
分析：

$(I)$ 根据已知条件，以及正弦定理，可得

$a=4$ ，

$b=5$ ，

$c=6$ ，再结合余弦定理、三角形面积公式，即可求解，

$(II)$ 由

$c>b>a$ ，可推得

$\Delta ABC$ 为钝角三角形时，角

$C$ 必为钝角，运用余弦定理可推得

$a^{2}-2a-3<0$ ，再结合

$a>0$ ，三角形的任意两边之和大于第三边定理，即可求解．
解：

$(I)\because 2\sin C=3\sin A$ ，

$\therefore$ 根据正弦定理可得

$2c=3a$ ，

$\because b=a+1$ ，

$c=a+2$ ，

$\therefore a=4$ ，

$b=5$ ，

$c=6$ ，
在

$\Delta ABC$ 中，运用余弦定理可得

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{4}^{2}+{5}^{2}-{6}^{2}}{2\times 4\times 5}=\dfrac{1}{8}$ ，

$\because \sin ^{2}C+\cos ^{2}C=1$ ，

$\therefore \sin C=\sqrt{1-co{s}^{2}C}=\sqrt{1-(\dfrac{1}{8})^{2}}=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}$ ，

$\therefore$

${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}\times 4\times 5\times \dfrac{3\sqrt{7}}{8}=\dfrac{15\sqrt{7}}{4}$ ．

$(II)\because c>b>a$ ，

$\therefore \Delta ABC$ 为钝角三角形时，角

$C$ 必为钝角，

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\dfrac{{a}^{2}+(a+1)^{2}-(a+2)^{2}}{2a(a+1)}<0$ ，

$\therefore a^{2}-2a-3<0$ ，

$\because a>0$ ，

$\therefore 0<a<3$ ，

$\because$ 三角形的任意两边之和大于第三边，

$\therefore a+b>c$ ，即

$a+a+1>a+2$ ，即

$a>1$ ，

$\therefore 1<a<3$ ，

$\because a$ 为正整数，

$\therefore a=2$ ．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用．

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