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2021年高考数学新高考Ⅱ-22

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22．（12分）已知函数

$f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}+b$ ．
（Ⅰ）讨论

$f(x)$ 的单调性；
（Ⅱ）从下面两个条件中选一个，证明：

$f(x)$ 恰有一个零点．
①

$\dfrac{1}{2}<a\leqslant \dfrac{{e}^{2}}{2}$ ，

$b>2a$ ；
②

$0<a<\dfrac{1}{2}$ ，

$b\leqslant 2a$ ．
分析：（Ⅰ）对函数

$f(x)$ 求导，对导数

$f'(x)$ 分

$a\leqslant 0$ 、

$0<a<\dfrac{1}{2}$ 、

$a=\dfrac{1}{2}$ 、

$a>\dfrac{1}{2}$ 四种情况讨论，即可求解．（2）结合第一问单调性以及零点存在定理来证明

$f(x)$ 有一个零点．
解：（Ⅰ）

$\because f(x)=(x-1)e^{x}-ax^{2}+b$ ，

$f'(x)=x(e^{x}-2a)$ ，
①当

$a\leqslant 0$ 时，当

$x>0$ 时，

$f'(x)>0$ ，当

$x<0$ 时，

$f'(x)<0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递减，在

$(0,+\infty )$ 上单调递增，
②当

$a>0$ 时，令

$f'(x)=0$ ，可得

$x=0$ 或

$x=ln(2a)$ ，

$(i)$ 当

$0<a<\dfrac{1}{2}$ 时，
当

$x>0$ 或

$x<ln(2a)$ 时，

$f'(x)>0$ ，当

$ln(2a)<x<0$ 时，

$f'(x)<0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(-\infty$ ，

$ln(2a))$ ，

$(0,+\infty )$ 上单调递增，在

$(ln(2a)$ ，

$0)$ 上单调递减，

$(ii)a=\dfrac{1}{2}$ 时，

$f'(x)=x(e^{x}-1)\geqslant 0$ 且等号不恒成立，

$\therefore f(x)$ 在

$R$ 上单调递增，

$(iii)$ 当

$a>\dfrac{1}{2}$ 时，
当

$x<0$ 或

$x>ln(2a)$ 时，

$f'(x)>0$ ，当

$0<x<ln(2a)$ 时，

$f'(x)<0$ ，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ ，

$(ln(2a)$ ，

$+\infty )$ 上单调递增，在

$(0$ ，

$ln(2a))$ 上单调递减．
综上所述：
当

$a\leqslant 0$ 时，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递减；在

$(0,+\infty )$ 上单调递增；
当

$0<a<\dfrac{1}{2}$ 时，

$f(x)$ 在

$(-\infty$ ，

$ln(2a))$ 和

$(0,+\infty )$ 上单调递增；在

$(ln(2a)$ ，

$0)$ 上单调递减；
当

$a=\dfrac{1}{2}$ 时，

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增；
当

$a>\dfrac{1}{2}$ 时，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 和

$(ln(2a)$ ，

$+\infty )$ 上单调递增；在

$(0$ ，

$ln(2a))$ 上单调递减．
（Ⅱ）证明：若选①，由（Ⅰ）知，

$f(x)$ 在

$(-\infty ,0)$ 上单调递增，

$(0$ ，

$ln(2a))$ 单调递减，

$(ln(2a)$ ，

$+\infty )$ 上

$f(x)$ 单调递增．
注意到

$f(-\sqrt{\dfrac{b}{a}})=(-\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1)e^{-\sqrt{\dfrac{b}{a}}}<0,f(0)=b-1>2a-1>0$ ．

$\therefore f(x)$ 在

$(-\sqrt{\dfrac{b}{a}},0]$ 上有一个零点；

$f(ln(2a))=(ln(2a)-1)\cdot 2a-a\cdot ln^{2}2a+b>2aln(2a)-2a-aln^{2}2a+2a=aln(2a)(2-ln(2a))$ ，
由

$\dfrac{1}{2}<a\leqslant \dfrac{e^{2}}{2}$ 得

$0<ln(2a)\leqslant 2$ ，

$\therefore aln(2a)(2-ln(2a))\geqslant 0$ ，

$\therefore f(ln(2a))>0$ ，当

$x\geqslant 0$ 时，

$f(x)\geqslant f(ln(2a))>0$ ，此时

$f(x)$ 无零点．
综上：

$f(x)$ 在

$R$ 上仅有一个零点．
若选②，则由（Ⅰ）知：

$f(x)$ 在

$(-\infty$ ，

$ln(2a))$ 上单调递增，在

$(ln(2a)$ ，

$0)$ 上单调递减，在

$(0,+\infty )$ 上单调递增．

$f(ln(2a))=(ln(2a)-1)2a-aln^{2}2a+b\leqslant 2aln(2a)-2a-aln^{2}2a+2a=aln(2a)(2-ln(2a))$ ，

$\because$

$0<a<\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore ln(2a)<0$ ，

$\therefore aln(2a)(2-ln(2a))<0$ ，

$\therefore f(ln(2a))<0$ ，

$\therefore$ 当

$x\leqslant 0$ 时，

$f(x)\leqslant f(ln(2a))<0$ ，此时

$f(x)$ 无零点．
当

$x>0$ 时，

$f(x)$ 单调递增，注意到

$f(0)=b-1\leqslant 2a-1<0$ ，
取

$c=\sqrt{2(1-b)+2}$ ，

$\because b<2a<1$ ，

$\therefore$

$c>\sqrt{2}>1$ ，又易证

$e^{c}>c+1$ ，

$\therefore$

$f(c)=(c-1)e^{c}-ac^{2}+b>(c-1)(c+1)-ac^{2}+b=(1-a)c^{2}+b-1>\dfrac{1}{2}c^{2}+b-1=1-b+1+b-1=1>0$ ，

$\therefore f(x)$ 在

$(0,c)$ 上有唯一零点，即

$f(x)$ 在

$(0,+\infty )$ 上有唯一零点．
综上：

$f(x)$ 在

$R$ 上有唯一零点．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性和零点，考查分类讨论的数学思想，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于难题．

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