2023年天津

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2023年高考数学天津1（5分）已知集合$U=\{1$，2，3，4，$5\}$，$A=\{1$，$3\}$，$B=\{1$，2，$4\}$，则$\complement _{U}B\bigcup A=($　　$)$
A．$\{1$，3，$5\}$ B．$\{1$，$3\}$ C．$\{1$，2，$4\}$ D．$\{1$，2，4，$5\}$【答案详解】

2023年高考数学天津2（5分）“$a^{2}=b^{2}$”是“$a^{2}+b^{2}=2ab$”的$($　　$)$
A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2023年高考数学天津3（5分）若$a=1.01^{0.5}$，$b=1.01^{0.6}$，$c=0.6^{0.5}$，则$($　　$)$
A．$c > a > b$ B．$c > b > a$ C．$a > b > c$ D．$b > a > c$【答案详解】

2023年高考数学天津4（5分）函数$f(x)$的图象如图所示，则$f(x)$的解析式可能为$($　　$)$

A．$\dfrac{5({{e^x}-{e^{-x}}})}{{x^2}+2}$ B．$\dfrac{5\sin x}{{x^2}+1}$
C．$\dfrac{5({{e^x}+{e^{-x}}})}{{x^2}+2}$ D．$\dfrac{5\cos x}{{x^2}+1}$【答案详解】

2023年高考数学天津5（5分）已知函数$f(x)$的一条对称轴为直线$x=2$，一个周期为4，则$f(x)$的解析式可能为$($　　$)$
A．$\sin (\dfrac{\pi }{2}x)$ B．$\cos (\dfrac{\pi }{2}x)$ C．$\sin (\dfrac{\pi }{4}x)$ D．$\cos (\dfrac{\pi }{4}x)$【答案详解】

2023年高考数学天津6（5分）已知$\{a_{n}\}$为等比数列，$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{n+1}=2S_{n}+2$，则$a_{4}$的值为$($　　$)$
A．3 B．18 C．54 D．152【答案详解】

2023年高考数学天津7（5分）调查某种花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数$r=0.8245$，下列说法正确的是$($　　$)$

A．花瓣长度和花萼长度没有相关性
B．花瓣长度和花萼长度呈现负相关
C．花瓣长度和花萼长度呈现正相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案详解】

2023年高考数学天津8（5分）在三棱锥$P-ABC$中，线段$PC$上的点$M$满足$PM=\dfrac{1}{3}PC$，线段$PB$上的点$N$满足$PN=\dfrac{2}{3}PB$，则三棱锥$P-AMN$和三棱锥$P-ABC$的体积之比为$($　　$)$
A．$\dfrac{1}{9}$ B．$\dfrac{2}{9}$ C．$\dfrac{1}{3}$ D．$\dfrac{4}{9}$【答案详解】

2023年高考数学天津9（5分）双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$．过$F_{2}$作其中一条渐近线的垂线，垂足为$P$．已知$\vert PF_{2}\vert =2$，直线$PF_{1}$的斜率为$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，则双曲线的方程为$($　　$)$
A．$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ B．$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1$ C．$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1$ D．$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$【答案详解】

2023年高考数学天津10（5分）已知$i$是虚数单位，化简$\dfrac{5+14i}{2+3i}$的结果为____．
【答案详解】

2023年高考数学天津11（5分）在$(2x^{3}-\dfrac{1}{x})^{6}$的展开式中，$x^{2}$项的系数为____．
【答案详解】

2023年高考数学天津12（5分）过原点的一条直线与圆$C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$相切，交曲线$y^{2}=2px(p > 0)$于点$P$，若$\vert OP\vert =8$，则$p$的值为 ____．
【答案详解】

2023年高考数学天津13（5分）甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为$5:4:6$．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为$40%$，$25%$，$50%$．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为____；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为____．
【答案详解】

2023年高考数学天津14（5分）在$\Delta ABC$中，$\angle A=60^\circ$，$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$，点$D$为$AB$的中点，点$E$为$CD$的中点，若设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AE}$可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示为____；若$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$的最大值为 ____．【答案详解】

2023年高考数学天津15（5分）若函数$f(x)=ax^{2}-2x-\vert x^{2}-ax+1\vert$有且仅有两个零点，则$a$的取值范围为____．
【答案详解】

2023年高考数学天津16（14分）在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$．已知$a=\sqrt{39}$，$b=2$，$\angle A=120^\circ$．
（Ⅰ）求$\sin B$的值；
（Ⅱ）求$c$的值；
（Ⅲ）求$\sin (B-C)$的值．【答案详解】

2023年高考数学天津17（15分）在三棱台$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$中，若$A_{1}A\bot$平面$ABC$，$AB\bot AC$，$AB=AC=AA_{1}=2$，$A_{1}C_{1}=1$，$M$，$N$分别为$BC$，$AB$中点．
（Ⅰ）求证：$A_{1}N//$平面$C_{1}MA$；
（Ⅱ）求平面$C_{1}MA$与平面$ACC_{1}A_{1}$所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点$C$到平面$C_{1}MA$的距离．

【答案详解】

2023年高考数学天津18（15分）设椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的左、右顶点分别为$A_{1}$，$A_{2}$，右焦点为$F$，已知$\vert A_{1}F\vert =3$，$\vert A_{2}F\vert =1$．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点$P$是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线$A_{2}P$交$y$轴于点$Q$，若△$A_{1}PQ$的面积是△$A_{2}FP$面积的二倍，求直线$A_{2}P$的方程．【答案详解】

2023年高考数学天津19（15分）已知$\{a_{n}\}$是等差数列，$a_{2}+a_{5}=16$，$a_{5}-a_{3}=4$．
（Ⅰ）求$\{a_{n}\}$的通项公式和$\sum\limits_{i={2^{n-1}}}^{{2^n}-1}{a_i}$；
（Ⅱ）已知$\{b_{n}\}$为等比数列，对于任意$k\in N^{*}$，若$2^{k-1}\leqslant n\leqslant 2^{k}-1$，则$b_{k} < a_{n} < b_{k+1}$．
$(i)$当$k\geqslant 2$时，求证：$2^{k}-1 < b_{n} < 2^{k}+1$；
$(ii)$求$\{b_{n}\}$的通项公式及其前$n$项和．【答案详解】

2023年高考数学天津20（16分）已知函数$f(x)=(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2})\ln (x+1)$．
（Ⅰ）求曲线$y=f(x)$在$x=2$处的切线斜率；
（Ⅱ）当$x > 0$时，求证：$f(x) > 1$；
（Ⅲ）证明：$\dfrac{5}{6} < \ln (n!)-(n+\dfrac{1}{2})\ln n+n\leqslant 1$．【答案详解】

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