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2023年高考数学天津5<-->2023年高考数学天津7
（5分）已知$\{a_{n}\}$为等比数列，$S_{n}$为数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，$a_{n+1}=2S_{n}+2$，则$a_{4}$的值为$($ $)$
A．3 B．18 C．54 D．152
答案：$C$
分析：由已知递推关系先表示出$a_{2}$，$a_{3}$，然后结合等比数列的性质可求首项$a_{1}$，公比$q$，进而可求$a_{4}$．
解：因为$\{a_{n}\}$为等比数列，$a_{n+1}=2S_{n}+2$，
所以$a_{2}=2S_{1}+2=2a_{1}+2$，$a_{3}=2S_{2}+2=2(a_{1}+2a_{1}+2)+2=6a_{1}+6$，
由等比数列的性质可得，${{a}_{2}}^{2}=a_{1}\cdot a_{3}$，
即$(2+2a_{1})^{2}=(6a_{1}+6)\cdot a_{1}$，
所以$a_{1}=2$或$a_{1}=-1$（舍$)$，
所以$a_{2}=6$，$q=3$，
则$a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}=2\times 3^{3}=54$．
故选：$C$．
点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
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