2023年高考数学天津6

（5分）已知

$\{a_{n}\}$ 为等比数列，

$S_{n}$ 为数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，

$a_{n+1}=2S_{n}+2$ ，则

$a_{4}$ 的值为

$($ 　　

$)$
A．3 B．18 C．54 D．152
答案：

$C$
分析：由已知递推关系先表示出

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，然后结合等比数列的性质可求首项

$a_{1}$ ，公比

$q$ ，进而可求

$a_{4}$ ．
解：因为

$\{a_{n}\}$ 为等比数列，

$a_{n+1}=2S_{n}+2$ ，
所以

$a_{2}=2S_{1}+2=2a_{1}+2$ ，

$a_{3}=2S_{2}+2=2(a_{1}+2a_{1}+2)+2=6a_{1}+6$ ，
由等比数列的性质可得，

${{a}_{2}}^{2}=a_{1}\cdot a_{3}$ ，
即

$(2+2a_{1})^{2}=(6a_{1}+6)\cdot a_{1}$ ，
所以

$a_{1}=2$ 或

$a_{1}=-1$ （舍

$)$ ，
所以

$a_{2}=6$ ，

$q=3$ ，
则

$a_{4}=a_{1}\cdot q^{3}=2\times 3^{3}=54$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．

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