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2023年高考数学天津16<-->2023年高考数学天津18
（15分）在三棱台ABC−A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC=AA1=2，A1C1=1，M，N分别为BC，AB中点．
（Ⅰ）求证：A1N//平面C1MA；
（Ⅱ）求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点C到平面C1MA的距离．
答案：（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）23；（Ⅲ）43．
分析：（Ⅰ）连接MN，推得四边形MNA1C1为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理可得证明；
（Ⅱ）运用三垂线定理得到平面C1MA与平面ACC1A1所成角，再解直角三角形可得所求值；
（Ⅲ）运用等积法和三棱锥的体积公式可得所求距离．
解：
（Ⅰ）证明：连接MN，可得MN为△AC的中位线，
可得MN//AC，且MN=12AC=1，
而A1C1=1，AC//A1C1，
则MN//A1C1，MN=A1C1，
可得四边形MNA1C1为平行四边形，
则A1N//C1M，
而A1N⊄平面C1MA，C1M⊂平面C1MA，
所以A1N//平面C1MA；
（Ⅱ）取AC的中点H，连接MH，
由AB⊥AC，MH//AB，可得MH⊥AC．
由A1A⊥平面ABC，MH⊂平面ABC，
可得A1A⊥MH，
可得MH⊥平面A1ACC1．
过H作HD⊥AC1，垂足为D，连接DM，
由三垂线定理可得DM⊥AC1，
可得∠MDH为平面C1MA与平面ACC1A1所成角．
由MH=12AB=1．
在矩形AHC1A1中，DH=AH⋅HC1AC1=1×2√5=2√55，
所以cos∠MDH=DHDM=2√55√1+45=23；
（Ⅲ）设C到平面C1MA的距离为d．
在△C1MA中，A1M=12AC=√2，AC1=√1+4=√5，MC1=√1+4=√5，
则S△C1MA=12×√2×√5−12=32．
由VC−C1MA=VC1−CMA，可得13dS△C1MA=13d⋅32=13C1H⋅SΔCMA=13×2×12×2×1=23，
解得d=43．
点评：本题考查线面平行的判定和平面与平面所成角、点到平面的距离，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
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