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2023年高考数学天津15<-->2023年高考数学天津17
（14分）在$\Delta ABC$中，角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$．已知$a=\sqrt{39}$，$b=2$，$\angle A=120^\circ$．
（Ⅰ）求$\sin B$的值；
（Ⅱ）求$c$的值；
（Ⅲ）求$\sin (B-C)$的值．
答案：（Ⅰ）$\dfrac{\sqrt{13}}{13}$；
（Ⅱ）$c=5$；
（Ⅲ）$-\dfrac{7\sqrt{3}}{26}$．
分析：（Ⅰ）根据已知条件，结合正弦定理，即可求解；
（Ⅱ）根据已知条件，结合余弦定理，即可求解；
（Ⅲ）根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及正弦的两角差公式，即可求解．
解：（Ⅰ）$a=\sqrt{39}$，$b=2$，$\angle A=120^\circ$，
则$\sin B=\dfrac{b\sin A}{a}=\dfrac{2\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\dfrac{\sqrt{13}}{13}$；
（Ⅱ）$a=\sqrt{39}$，$b=2$，$\angle A=120^\circ$，
则$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos A=4+c^{2}+2c=39$，化简整理可得，$(c+7)(c-5)=0$，解得$c=5$（负值舍去）；
（Ⅲ）$\cos B=\sqrt{1-si{n}^{2}B}=\dfrac{2\sqrt{39}}{13}$，
$c=5$，$a=\sqrt{39}$，$\angle A=120^\circ$，
则$\sin C=\dfrac{c\sin A}{a}=\dfrac{5\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{39}}=\dfrac{5\sqrt{13}}{26}$，
故$\cos C=\sqrt{1-si{n}^{2}C}=\dfrac{3\sqrt{39}}{26}$，
所以$\sin (B-C)=\sin B\cos C-\sin C\cos B=\dfrac{\sqrt{13}}{13}\times \dfrac{3\sqrt{39}}{26}-\dfrac{5\sqrt{13}}{26}\times \dfrac{2\sqrt{39}}{13}=-\dfrac{7}{26}\sqrt{3}$．
点评：本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
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