2023年高考数学天津12

（5分）过原点的一条直线与圆

$C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 相切，交曲线

$y^{2}=2px(p > 0)$ 于点

$P$ ，若

$\vert OP\vert =8$ ，则

$p$ 的值为 ____．
答案：6．
分析：不妨设直线方程为

$y=kx(k > 0)$ ，由直线与圆相切求解

$k$ 值，可得直线方程，联立直线与抛物线方程，求得

$P$ 点坐标，再由

$\vert OP\vert =8$ 列式求解

$p$ 的值．
解：如图，

由题意，不妨设直线方程为

$y=kx(k > 0)$ ，即

$kx-y=0$ ，
由圆

$C:(x+2)^{2}+y^{2}=3$ 的圆心

$C(-2,0)$ 到

$kx-y=0$ 的距离为

$\sqrt{3}$ ，
得

$\dfrac{\vert -2k\vert }{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\sqrt{3}$ ，解得

$k=\sqrt{3}(k > 0)$ ，
则直线方程为

$y=\sqrt{3}x$ ，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\ {{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$ ，得

$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\ {y=0}\end{array}\right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{x=\dfrac{2p}{3}}\\ {y=\dfrac{2\sqrt{3}p}{3}}\end{array}\right.$ ，即

$P(\dfrac{2p}{3},\dfrac{2\sqrt{3}p}{3})$ ．
可得

$\vert OP\vert =\sqrt{(\dfrac{2p}{3})^{2}+(\dfrac{2\sqrt{3}p}{3})^{2}}=8$ ，解得

$p=6$ ．
故答案为：6．
点评：本题考查直线与圆、直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．

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