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2023年高考数学天津14<-->2023年高考数学天津16
（5分）若函数$f(x)=ax^{2}-2x-\vert x^{2}-ax+1\vert$有且仅有两个零点，则$a$的取值范围为 ____．
答案：$(-\infty$，$0)\bigcup (0$，$1)\bigcup (1$，$+\infty )$．
分析：首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．
解：①当$a=0$时，$f(x)=-2x-\vert x^{2}+1\vert =-2x-x^{2}-1$，不满足题意；
②当方程$x^{2}-ax+1=0$满足$a\ne 0$且△$\leqslant 0$时，
有$a^{2}-4\leqslant 0$即$a\in [-2$，$0)\bigcup (0$，$2]$，
此时，$f(x)=(a-1)x^{2}+(a-2)x-1$
，当$a=1$时，不满足，
当$a\ne 1$时，△$=(a-2)^{2}+4(a-1)=a^{2} > 0$，满足；
③△$ > 0$时，$a\in (-\infty$，$-2)\bigcup (2$，$+\infty )$，
记$x^{2}-ax+1$的两根为$m$，$n$，不妨设$m < n$，
则$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{[(a-1)x-1](x+1),x\in (-\infty ,m]\bigcup{[}n,+\infty )}\\ {[(a+1)x-1](x-1),x\in (m,n)}\end{array}\right.$，
当$a > 2$时，$x_{1}=\dfrac{1}{a-1}$，$x_{2}=-1$且$x\in (-\infty$，$m]\bigcup{[}n$，$+\infty )$，
但此时${x}_{1}^{2}-ax_{1}+1=\dfrac{-a+2}{(a-1)^{2}} < 0$，舍去$x_{1}$，
$x_{3}=\dfrac{1}{a+1}$，$x_{4}=1$，且$x\in (m,n)$，
但此时${x}_{3}^{2}-ax_{3}+1=\dfrac{a+2}{(a-1)^{2}} > 0$，舍去$x_{3}$，
故仅有1与$-1$两个解，即$f(x)$有且仅有两个零点，
当$a < -2$时，有${x}_{2}^{2}-ax_{2}+1=a+2 < 0$，舍去$x_{2}$，${x}_{4}^{2}-a{x}_{4}+1=2-a > 0$，舍去$x_{4}$，
故仅有$\dfrac{1}{a-1}$和$\dfrac{1}{a+1}$两个解，即$f(x)$有且仅有两个零点，
综上，$a\in (-\infty$，$0)\bigcup (0$，$1)\bigcup (1$，$+\infty )$．
故答案为：$(-\infty$，$0)\bigcup (0$，$1)\bigcup (1$，$+\infty )$．
点评：本题是含参数的函数零点问题，主要是分类讨论思想的考查，属偏难题．
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