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2023年高考数学天津15

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（5分）若函数

$f(x)=ax^{2}-2x-\vert x^{2}-ax+1\vert$ 有且仅有两个零点，则

$a$ 的取值范围为 ____．
答案：

$(-\infty$ ，

$0)\bigcup (0$ ，

$1)\bigcup (1$ ，

$+\infty )$ ．
分析：首先要分情况去绝对值，化简函数，再根据对应方程根的情况判定零点个数是否满足题意．
解：①当

$a=0$ 时，

$f(x)=-2x-\vert x^{2}+1\vert =-2x-x^{2}-1$ ，不满足题意；
②当方程

$x^{2}-ax+1=0$ 满足

$a\ne 0$ 且△

$\leqslant 0$ 时，
有

$a^{2}-4\leqslant 0$ 即

$a\in [-2$ ，

$0)\bigcup (0$ ，

$2]$ ，
此时，

$f(x)=(a-1)x^{2}+(a-2)x-1$
，当

$a=1$ 时，不满足，
当

$a\ne 1$ 时，△

$=(a-2)^{2}+4(a-1)=a^{2} > 0$ ，满足；
③△

$> 0$ 时，

$a\in (-\infty$ ，

$-2)\bigcup (2$ ，

$+\infty )$ ，
记

$x^{2}-ax+1$ 的两根为

$m$ ，

$n$ ，不妨设

$m < n$ ，
则

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{[(a-1)x-1](x+1),x\in (-\infty ,m]\bigcup{[}n,+\infty )}\\ {[(a+1)x-1](x-1),x\in (m,n)}\end{array}\right.$ ，
当

$a > 2$ 时，

$x_{1}=\dfrac{1}{a-1}$ ，

$x_{2}=-1$ 且

$x\in (-\infty$ ，

$m]\bigcup{[}n$ ，

$+\infty )$ ，
但此时

${x}_{1}^{2}-ax_{1}+1=\dfrac{-a+2}{(a-1)^{2}} < 0$ ，舍去

$x_{1}$ ，

$x_{3}=\dfrac{1}{a+1}$ ，

$x_{4}=1$ ，且

$x\in (m,n)$ ，
但此时

${x}_{3}^{2}-ax_{3}+1=\dfrac{a+2}{(a-1)^{2}} > 0$ ，舍去

$x_{3}$ ，
故仅有1与

$-1$ 两个解，即

$f(x)$ 有且仅有两个零点，
当

$a < -2$ 时，有

${x}_{2}^{2}-ax_{2}+1=a+2 < 0$ ，舍去

$x_{2}$ ，

${x}_{4}^{2}-a{x}_{4}+1=2-a > 0$ ，舍去

$x_{4}$ ，
故仅有

$\dfrac{1}{a-1}$ 和

$\dfrac{1}{a+1}$ 两个解，即

$f(x)$ 有且仅有两个零点，
综上，

$a\in (-\infty$ ，

$0)\bigcup (0$ ，

$1)\bigcup (1$ ，

$+\infty )$ ．
故答案为：

$(-\infty$ ，

$0)\bigcup (0$ ，

$1)\bigcup (1$ ，

$+\infty )$ ．
点评：本题是含参数的函数零点问题，主要是分类讨论思想的考查，属偏难题．

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