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2023年高考数学天津8<-->2023年高考数学天津10
（5分）双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$的左、右焦点分别为$F_{1}$，$F_{2}$．过$F_{2}$作其中一条渐近线的垂线，垂足为$P$．已知$\vert PF_{2}\vert =2$，直线$PF_{1}$的斜率为$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，则双曲线的方程为$($ $)$
A．$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ B．$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1$ C．$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1$ D．$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$
答案：$D$
分析：结合点到直线的距离公式先求出$b$，联立渐近线方程及$PF_{2}$所在直线方程可求$P$，进而表示出直线$PF_{1}$的斜率，结合已知可求$a$，$b$，进而可求双曲线方程．
解：因为过$F_{2}(c,0)$作一条渐近线$y=\dfrac{b}{a}x$的垂线，垂足为$P$，
则$\vert PF_{2}\vert =\dfrac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b=2$，
所以$b=2$①，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{b}{a}x}\\ {y=-\dfrac{a}{b}(x-c)}\end{array}\right.$，可得$x=\dfrac{{a}^{2}}{c}$，$y=\dfrac{ab}{c}$，即$P(\dfrac{{a}^{2}}{c}$，$\dfrac{ab}{c})$，
因为直线$PF_{1}$的斜率$\dfrac{\dfrac{ab}{c}}{\dfrac{{a}^{2}}{c}+c}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$，
整理得$\sqrt{2}(a^{2}+c^{2})=4ab$②，
①②联立得，$a=\sqrt{2}$，$b=2$，
故双曲线方程为$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$．
故选：$D$．
点评：本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．
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