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2023年高考数学天津9

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（5分）双曲线

$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > 0,b > 0)$ 的左、右焦点分别为

$F_{1}$ ，

$F_{2}$ ．过

$F_{2}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为

$P$ ．已知

$\vert PF_{2}\vert =2$ ，直线

$PF_{1}$ 的斜率为

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ，则双曲线的方程为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{x^2}{8}-\dfrac{y^2}{4}=1$ B．

$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{8}=1$ C．

$\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{2}=1$ D．

$\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{4}=1$
答案：

$D$
分析：结合点到直线的距离公式先求出

$b$ ，联立渐近线方程及

$PF_{2}$ 所在直线方程可求

$P$ ，进而表示出直线

$PF_{1}$ 的斜率，结合已知可求

$a$ ，

$b$ ，进而可求双曲线方程．
解：因为过

$F_{2}(c,0)$ 作一条渐近线

$y=\dfrac{b}{a}x$ 的垂线，垂足为

$P$ ，
则

$\vert PF_{2}\vert =\dfrac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=b=2$ ，
所以

$b=2$ ①，
联立

$\left\{\begin{array}{l}{y=\dfrac{b}{a}x}\\ {y=-\dfrac{a}{b}(x-c)}\end{array}\right.$ ，可得

$x=\dfrac{{a}^{2}}{c}$ ，

$y=\dfrac{ab}{c}$ ，即

$P(\dfrac{{a}^{2}}{c}$ ，

$\dfrac{ab}{c})$ ，
因为直线

$PF_{1}$ 的斜率

$\dfrac{\dfrac{ab}{c}}{\dfrac{{a}^{2}}{c}+c}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ，
整理得

$\sqrt{2}(a^{2}+c^{2})=4ab$ ②，
①②联立得，

$a=\sqrt{2}$ ，

$b=2$ ，
故双曲线方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应用，属于中档题．

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