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2023年高考数学天津8

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（5分）在三棱锥

$P-ABC$ 中，线段

$PC$ 上的点

$M$ 满足

$PM=\dfrac{1}{3}PC$ ，线段

$PB$ 上的点

$N$ 满足

$PN=\dfrac{2}{3}PB$ ，则三棱锥

$P-AMN$ 和三棱锥

$P-ABC$ 的体积之比为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{9}$ B．

$\dfrac{2}{9}$ C．

$\dfrac{1}{3}$ D．

$\dfrac{4}{9}$
答案：

$B$
分析：设

$N$ 到平面

$PAC$ 的距离

$d_{1}$ ，

$B$ 到平面

$PAC$ 的距离

$d_{2}$ ，则

${d}_{1}=\dfrac{2}{3}{d}_{2}$ ，

$S_{\Delta PMA}=\dfrac{1}{3}{S}_{\Delta PAC}$ ，然后结合三棱锥的体积公式即可求解．
解：在三棱锥

$P-ABC$ 中，线段

$PC$ 上的点

$M$ 满足

$PM=\dfrac{1}{3}PC$ ，线段

$PB$ 上的点

$N$ 满足

$PN=\dfrac{2}{3}PB$ ，
所以

$S_{\Delta PMA}=\dfrac{1}{3}{S}_{\Delta PAC}$ ，
设

$N$ 到平面

$PAC$ 的距离

$d_{1}$ ，

$B$ 到平面

$PAC$ 的距离

$d_{2}$ ，则

${d}_{1}=\dfrac{2}{3}{d}_{2}$ ，
则三棱锥

$P-AMN$ 的体积为

${{V}_{P-AMN}}={{V}_{N-APM}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PAM}}\cdot {{d}_{1}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PAC}}\times \dfrac{2}{3}{{d}_{2}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{B-PAC}}$ ．
故三棱锥

$P-AMN$ 和三棱锥

$P-ABC$ 的体积之比为

$\dfrac{2}{9}$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．

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