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2023年高考数学天津7<-->2023年高考数学天津9
（5分）在三棱锥$P-ABC$中，线段$PC$上的点$M$满足$PM=\dfrac{1}{3}PC$，线段$PB$上的点$N$满足$PN=\dfrac{2}{3}PB$，则三棱锥$P-AMN$和三棱锥$P-ABC$的体积之比为$($ $)$
A．$\dfrac{1}{9}$ B．$\dfrac{2}{9}$ C．$\dfrac{1}{3}$ D．$\dfrac{4}{9}$
答案：$B$
分析：设$N$到平面$PAC$的距离$d_{1}$，$B$到平面$PAC$的距离$d_{2}$，则${d}_{1}=\dfrac{2}{3}{d}_{2}$，$S_{\Delta PMA}=\dfrac{1}{3}{S}_{\Delta PAC}$，然后结合三棱锥的体积公式即可求解．
解：在三棱锥$P-ABC$中，线段$PC$上的点$M$满足$PM=\dfrac{1}{3}PC$，线段$PB$上的点$N$满足$PN=\dfrac{2}{3}PB$，
所以$S_{\Delta PMA}=\dfrac{1}{3}{S}_{\Delta PAC}$，
设$N$到平面$PAC$的距离$d_{1}$，$B$到平面$PAC$的距离$d_{2}$，则${d}_{1}=\dfrac{2}{3}{d}_{2}$，
则三棱锥$P-AMN$的体积为${{V}_{P-AMN}}={{V}_{N-APM}}=\dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PAM}}\cdot {{d}_{1}}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}{{S}_{\Delta PAC}}\times \dfrac{2}{3}{{d}_{2}}=\dfrac{2}{9}{{V}_{B-PAC}}$．
故三棱锥$P-AMN$和三棱锥$P-ABC$的体积之比为$\dfrac{2}{9}$．
故选：$B$．
点评：本题主要考查了三棱锥体积的求解，换顶点的应用是求解问题的关键，属于中档题．
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