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2023年高考数学天津14

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（5分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle A=60^\circ$ ，

$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$ ，点

$D$ 为

$AB$ 的中点，点

$E$ 为

$CD$ 的中点，若设

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ ，则

$\overrightarrow{AE}$ 可用

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 表示为 ____；若

$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ，则

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$ 的最大值为 ____．
答案：

$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$ ；

$\dfrac{13}{24}$ ．
分析：由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
解：

在

$\Delta ABC$ 中，

$\angle A=60^\circ$ ，

$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$ ，点

$D$ 为

$AB$ 的中点，点

$E$ 为

$CD$ 的中点，

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$ ，
则

$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$ ；
设

$\vert \overrightarrow{AB}\vert =x$ ，

$\vert \overrightarrow{AC}\vert =y$ ，
由余弦定理可得：

$1=x^{2}+y^{2}-xy$ ，
又

$x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy$ ，
即

$xy\leqslant 1$ ，当且仅当

$x=y$ 时取等号，
又

$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ ，
则

$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$ ，
则

$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b})\cdot (\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b})$