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2023年高考数学天津13<-->2023年高考数学天津15
（5分）在$\Delta ABC$中，$\angle A=60^\circ$，$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$，点$D$为$AB$的中点，点$E$为$CD$的中点，若设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AE}$可用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示为 ____；若$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$的最大值为 ____．
答案：$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$；$\dfrac{13}{24}$．
分析：由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可．
解：
在$\Delta ABC$中，$\angle A=60^\circ$，$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$，点$D$为$AB$的中点，点$E$为$CD$的中点，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$；
设$\vert \overrightarrow{AB}\vert =x$，$\vert \overrightarrow{AC}\vert =y$，
由余弦定理可得：$1=x^{2}+y^{2}-xy$，
又$x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy$，
即$xy\leqslant 1$，当且仅当$x=y$时取等号，
又$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
则$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$，
则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b})\cdot (\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b})$
$=\dfrac{1}{12}(2\overrightarrow{a}^2+5\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2})$
$=\dfrac{1}{12}(2{x}^{2}+2{y}^{2}+\dfrac{5}{2}xy)$
$=\dfrac{1}{12}(\dfrac{9}{2}xy+2)$
$\leqslant \dfrac{1}{12}(\dfrac{9}{2}+2)$
$=\dfrac{13}{24}$，
即$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$的最大值为$\dfrac{13}{24}$．
故答案为：$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$；$\dfrac{13}{24}$．
点评：本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用，属中档题．
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