br>
2023年高考数学天津13<-->2023年高考数学天津15
(5分)在$\Delta ABC$中,$\angle A=60^\circ$,$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$,点$D$为$AB$的中点,点$E$为$CD$的中点,若设$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$,则$\overrightarrow{AE}$可用$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$表示为 ____;若$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$,则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$的最大值为 ____. 答案:$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$;$\dfrac{13}{24}$. 分析:由平面向量的线性运算,结合平面向量数量积的运算及基本不等式的应用求解即可. 解:
在$\Delta ABC$中,$\angle A=60^\circ$,$\vert \overrightarrow{BC}\vert =1$,点$D$为$AB$的中点,点$E$为$CD$的中点,$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$, 则$\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC})=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$; 设$\vert \overrightarrow{AB}\vert =x$,$\vert \overrightarrow{AC}\vert =y$, 由余弦定理可得:$1=x^{2}+y^{2}-xy$, 又$x^{2}+y^{2}\geqslant 2xy$, 即$xy\leqslant 1$,当且仅当$x=y$时取等号, 又$\overrightarrow{BF}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, 则$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}$, 则$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=(\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b})\cdot (\dfrac{2}{3}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b})$ $=\dfrac{1}{12}(2\overrightarrow{a}^2+5\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+2{\overrightarrow{b}}^{2})$ $=\dfrac{1}{12}(2{x}^{2}+2{y}^{2}+\dfrac{5}{2}xy)$ $=\dfrac{1}{12}(\dfrac{9}{2}xy+2)$ $\leqslant \dfrac{1}{12}(\dfrac{9}{2}+2)$ $=\dfrac{13}{24}$, 即$\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}$的最大值为$\dfrac{13}{24}$. 故答案为:$\dfrac{1}{4}\overrightarrow{a}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{b}$;$\dfrac{13}{24}$.
点评:本题考查了平面向量的线性运算,重点考查了平面向量数量积的运算及基本不等式的应用,属中档题.
2023年高考数学天津13<-->2023年高考数学天津15
全网搜索"2023年高考数学天津14"相关
|