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2023年高考数学天津4<-->2023年高考数学天津6
（5分）已知函数$f(x)$的一条对称轴为直线$x=2$，一个周期为4，则$f(x)$的解析式可能为$($ $)$
A．$\sin (\dfrac{\pi }{2}x)$ B．$\cos (\dfrac{\pi }{2}x)$ C．$\sin (\dfrac{\pi }{4}x)$ D．$\cos (\dfrac{\pi }{4}x)$
答案：$B$
分析：由已知结合正弦函数及余弦函数的对称性及周期公式分别检验各选项即可判断．
解：$A$：若$f(x)=\sin (\dfrac{\pi }{2}x)$，则$T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{\pi }{2}}=4$，
令$\dfrac{\pi }{2}x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi$，$k\in Z$，则$x=1+2k$，$k\in Z$，显然$x=2$不是对称轴，不符合题意；
$B$：若$f(x)=\cos (\dfrac{\pi }{2}x)$，则$T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{\pi }{2}}=4$，
令$\dfrac{\pi }{2}x=k\pi$，$k\in Z$，则$x=2k$，$k\in Z$，
故$x=2$是一条对称轴，$B$符合题意；
$C:f(x)=\sin (\dfrac{\pi }{4}x)$，则$T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{\pi }{4}}=8$，不符合题意；
$D:f(x)=\cos (\dfrac{\pi }{4}x)$，则$T=\dfrac{2\pi }{\dfrac{\pi }{4}}=8$，不符合题意．
故选：$B$．
点评：本题主要考查了正弦及余弦函数的对称性及周期性，属于基础题．
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