2021年天津

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2021年高考数学天津1设集合

$A=\{-1$ ，0，

$1\}$ ，

$B=\{1$ ，3，

$5\}$ ，

$C=\{0$ ，2，

$4\}$ ，则

$(A\bigcap B)\bigcup C=$ (　　)
A．

$\{0\}$ B．

$\{0$ ，1，3，

$5\}$ C．

$\{0$ ，1，2，

$4\}$ D．

$\{0$ ，2，3，

$4\}$ 【答案详解】

2021年高考数学天津2已知

$a\in R$ ，则“

$a>6$ ”是“

$a^{2}>36$ ”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2021年高考数学天津3函数

$f(x)=\dfrac{ln\vert x\vert }{{x}^{2}+2}$ 的图象大致为(　　)
A．

B．

C．

D．

【答案详解】

2021年高考数学天津4从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：

$[66$ ，

$70)$ ，

$[70$ ，

$74)$ ，

$\ldots$ ，

$[94$ ，

$98)$ ，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间

$[82$ ，

$86)$ 内的影视作品数量是(　　)

A．20 B．40 C．64 D．80
【答案详解】

2021年高考数学天津5设

$a=\log _{2}0.3$ ，

$b={\log }_{\dfrac{1}{2}}0.4$ ，

$c=0.4^{0.3}$ ，则三者大小关系为(　　)
A．

$a < b < c$ B．

$c < a < b$ C．

$b < c < a$ D．

$a < c < b$ 【答案详解】

2021年高考数学天津6两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

$\dfrac{32\pi }{3}$ ，两个圆锥的高之比为

$1:3$ ，则这两个圆锥的体积之和为(　　)
A．

$3\pi$ B．

$4\pi$ C．

$9\pi$ D．

$12\pi$ 【答案详解】

2021年高考数学天津7若

$2^{a}=5^{b}=10$ ，则

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=$ (　　)
A．

$-1$ B．

$lg7$ C．1 D．

$\log _{7}10$ 【答案详解】

2021年高考数学天津8已知双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点与抛物线

$y^{2}=2px(p>0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于

$A$ ，

$B$ 两点，交双曲线的渐近线于

$C$ ，

$D$ 两点，若

$\vert CD\vert =\sqrt{2}\vert AB\vert$ ，则双曲线的离心率为(　　)
A．

$\sqrt{2}$ B．

$\sqrt{3}$ C．2 D．3【答案详解】

2021年高考数学天津9设

$a\in R$ ，函数

$f(x)=\left\{\begin{array}x\cos (2\pi x-2\pi a)&x < a\\ {x}^{2}-2(a+1)x+{a}^{2}+5&x\geqslant a\end{array}\right.$ ，若函数

$f(x)$ 在区间

$(0,+\infty )$ 内恰有6个零点，则

$a$ 的取值范围是(　　)

A．

$(2$ ，

$\dfrac{9}{4}]\bigcup (\dfrac{5}{2}$ ，

$\dfrac{11}{4}]$ B．

$(\dfrac{7}{4}$ ，

$2]\bigcup (\dfrac{5}{2}$ ，

$\dfrac{11}{4}]$
C．

$(2$ ，

$\dfrac{9}{4}]\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$ ，

$3)$ D．

$(\dfrac{7}{4}$ ，

$2)\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$ ，

$3)$ 【答案详解】

2021年高考数学天津10

$i$ 是虚数单位，复数

$\dfrac{9+2i}{2+i}=$ ____．【答案详解】

2021年高考数学天津11在

$(2x^{3}+\dfrac{1}{x})^{6}$ 的展开式中，

$x^{6}$ 的系数是 ____．【答案详解】

2021年高考数学天津12若斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线与

$y$ 轴交于点

$A$ ，与圆

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点

$B$ ，则

$\vert AB\vert =$ ____．【答案详解】

2021年高考数学天津13已知

$a>0$ ，

$b>0$ ，则

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b$ 的最小值为____．【答案详解】

2021年高考数学天津14甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为

$\dfrac{5}{6}$ 和

$\dfrac{3}{5}$ ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ____；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ____．【答案详解】

2021年高考数学天津15在边长为1的等边三角形

$ABC$ 中，

$D$ 为线段

$BC$ 上的动点，

$DE\bot AB$ 且交

$AB$ 于点

$E$ ，

$DF//AB$ 且交

$AC$ 于点

$F$ ，则

$\vert 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\vert$ 的值为____；

$(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为 ____．【答案详解】

2021年高考数学天津16在

$\Delta ABC$ 中，内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，且

$\sin A:\sin B:\sin C=2:1:\sqrt{2}$ ，

$b=\sqrt{2}$ ．
（1）求

$a$ 的值；
（2）求

$\cos C$ 的值；
（3）求

$\sin (2C-\dfrac{\pi }{6})$ 的值．【答案详解】

2021年高考数学天津17如图，在棱长为2的正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，

$E$ ，

$F$ 分别为棱

$BC$ ，

$CD$ 的中点．
（1）求证：

$D_{1}F//$ 平面

$A_{1}EC_{1}$ ；
（2）求直线

$AC_{1}$ 与平面

$A_{1}EC_{1}$ 所成角的正弦值；
（3）求二面角

$A-A_{1}C_{1}-E$ 的正弦值．

【答案详解】

2021年高考数学天津18已知椭圆

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 的右焦点为

$F$ ，上顶点为

$B$ ，离心率为

$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ ，且

$\vert BF\vert =\sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线

$l$ 与椭圆有唯一的公共点

$M$ ，与

$y$ 轴的正半轴交于点

$N$ ，过

$N$ 与

$BF$ 垂直的直线交

$x$ 轴于点

$P$ ．若

$MP//BF$ ，求直线

$l$ 的方程．【答案详解】

2021年高考数学天津19已知数列

$\{a_{n}\}$ 是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列

$\{b_{n}\}$ 是公比大于0的等比数列，

$b_{1}=4$ ，

$b_{3}-b_{2}=48$ ．
（1）求数列

$\{a_{n}\}$ 和

$\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（2）记

$c_{n}=b_{2n}+\dfrac{1}{{b}_{n}}$ ，

$n\in N^*$ ．

$(i)$ 证明：

$\{c_{n}^{2}-c_{2n}\}$ 是等比数列；

$(ii)$ 证明：

$\sum _{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{{a}_{k}{a}_{k+1}}{{c}_{k}^{2}-{c}_{2k}}}<2\sqrt{2}(n\in N^*)$ ．【答案详解】

2021年高考数学天津20已知

$a>0$ ，函数

$f(x)=ax-xe^{x}$ ．
（1）求曲线

$f(x)$ 在点

$(0$ ，

$f(0))$ 处的切线方程；
（2）证明函数

$f(x)$ 存在唯一的极值点；
（3）若

$\exists a$ ，使得

$f(x)\leqslant a+b$ 对任意的

$x\in R$ 恒成立，求实数

$b$ 的取值范围．【答案详解】

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