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20．（16分）已知$a>0$，函数$f(x)=ax-xe^{x}$．
（1）求曲线$f(x)$在点$(0$，$f(0))$处的切线方程；
（2）证明函数$f(x)$存在唯一的极值点；
（3）若$\exists a$，使得$f(x)\leqslant a+b$对任意的$x\in R$恒成立，求实数$b$的取值范围．
分析：（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切线即可；
（2）令$f'(x)=0$，将$a$分离，然后利用导数研究另一侧函数的单调性，画出图象，可知当$a>0$时，$y=a$与$y=g(x)$仅有一个交点，然后判定在交点处左右导数符号，从而可得结论；
（3）由（2）知$f(x)_{max}=f(m)$，此时$a=(1+m)e^{m}$，$(m>-1)$，所以$\{f(x)-a\}_{max}=(m^{2}-m-1)e^{m}(m>-1)$，构造$h(x)=(x^{2}-x-1)e^{x}(x>-1)$，若存在$a$，使$f(x)\leqslant a+b$对任意的$x\in R$恒成立，则等价于存在$x\in (-1,+\infty )$，使得$h(x)\leqslant b$，即$b\geqslant h(x)_{min}$，最后利用导数研究其最值，即可求出所求．
（1）解：因为$f'(x)=a-(x+1)e^{x}$，所以$f'(0)=a-1$，而$f(0)=0$，
所以在$(0$，$f(0))$处的切线方程为$y=(a-1)x(a>0)$；
（2）证明：令$f'(x)=a-(x+1)e^{x}=0$，则$a=(x+1)e^{x}$，
令$g(x)=(x+1)e^{x}$，则$g'(x)=(x+2)e^{x}$，令$g'(x)=0$，解得$x=-2$，
当$x\in (-\infty ,-2)$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减，
当$x\in (-2,+\infty )$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增，
当$x\rightarrow -\infty$时，$g(x)<0$，当$x\rightarrow +\infty$时，$g(x)>0$，
作出图象
所以当$a>0$时，$y=a$与$y=g(x)$仅有一个交点，令$g(m)=a$，
则$m>-1$，且$f(m)=a-g(m)=0$，
当$x\in (-\infty ,m)$时，$a>g(m)$，$f'(x)>0$，$f(x)$为增函数；
当$x\in (m,+\infty )$时，$a<g(m)$，$f'(x)<0$，$f(x)$为减函数；
所以$x=m$时$f(x)$的极大值点，故$f(x)$仅有一个极值点；
（3）解：由（2）知$f(x)_{max}=f(m)$，
此时$a=(1+m)e^{m}$，$(m>-1)$，
所以$\{f(x)-a\}_{max}=f(m)-a=(1+m)e^{m}-m-me^{m}-(1+m)e^{m}=(m^{2}-m-1)e^{m}(m>-1)$，
令$h(x)=(x^{2}-x-1)e^{x}(x>-1)$，
若存在$a$，使$f(x)\leqslant a+b$对任意的$x\in R$恒成立，
则等价于存在$x\in (-1,+\infty )$，使得$h(x)\leqslant b$，即$b\geqslant h(x)_{min}$，
而$h'(x)=(x^{2}+x-2)e^{x}=(x-1)(x+2)e^{x}$，$(x>-1)$，
当$x\in (-1,1)$时，$h'(x)<0$，$h(x)$为单调减函数，
当$x\in (1,+\infty )$时，$h'(x)>0$，$h(x)$为单调增函数，
所以$h(x)_{min}=h$（1）$=-e$，故$b\geqslant -e$，
所以实数$b$的取值范围$[-e$，$+\infty )$．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．
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