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20．（16分）已知a>0，函数f(x)=ax−xex．
（1）求曲线f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
（2）证明函数f(x)存在唯一的极值点；
（3）若∃a，使得f(x)⩽a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．
分析：（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切线即可；
（2）令f′(x)=0，将a分离，然后利用导数研究另一侧函数的单调性，画出图象，可知当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，然后判定在交点处左右导数符号，从而可得结论；
（3）由（2）知f(x)max=f(m)，此时a=(1+m)em，(m>−1)，所以{f(x)−a}max=(m2−m−1)em(m>−1)，构造h(x)=(x2−x−1)ex(x>−1)，若存在a，使f(x)⩽a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈(−1,+∞)，使得h(x)⩽b，即b⩾h(x)min，最后利用导数研究其最值，即可求出所求．
（1）解：因为f′(x)=a−(x+1)ex，所以f′(0)=a−1，而f(0)=0，
所以在(0，f(0))处的切线方程为y=(a−1)x(a>0)；
（2）证明：令f′(x)=a−(x+1)ex=0，则a=(x+1)ex，
令g(x)=(x+1)ex，则g′(x)=(x+2)ex，令g′(x)=0，解得x=−2，
当x∈(−∞,−2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当x∈(−2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x→−∞时，g(x)<0，当x→+∞时，g(x)>0，
作出图象
所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a，
则m>−1，且f(m)=a−g(m)=0，
当x∈(−∞,m)时，a>g(m)，f′(x)>0，f(x)为增函数；
当x∈(m,+∞)时，a<g(m)，f′(x)<0，f(x)为减函数；
所以x=m时f(x)的极大值点，故f(x)仅有一个极值点；
（3）解：由（2）知f(x)max=f(m)，
此时a=(1+m)em，(m>−1)，
所以{f(x)−a}max=f(m)−a=(1+m)em−m−mem−(1+m)em=(m2−m−1)em(m>−1)，
令h(x)=(x2−x−1)ex(x>−1)，
若存在a，使f(x)⩽a+b对任意的x∈R恒成立，
则等价于存在x∈(−1,+∞)，使得h(x)⩽b，即b⩾h(x)min，
而h′(x)=(x2+x−2)ex=(x−1)(x+2)ex，(x>−1)，
当x∈(−1,1)时，h′(x)<0，h(x)为单调减函数，
当x∈(1,+∞)时，h′(x)>0，h(x)为单调增函数，
所以h(x)min=h（1）=−e，故b⩾−e，
所以实数b的取值范围[−e，+∞)．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．
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