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2021年高考数学天津16<-->2021年高考数学天津18
17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．
（1）求证：D1F//平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；
（3）求二面角A−A1C1−E的正弦值．
分析：（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面A1EC1的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；
（2）利用（1）中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；
（3）利用待定系数法求出平面AA1C1的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．
（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A1(0，0，2)，E(2，1，0)，C1(2，2，2)，
故→A1C1=(2,2,0),→EC1=(0,1,2)，
设平面A1EC1的法向量为→n=(x,y,z)，
则{→n⋅→A1C1=0→n⋅→EC1=0，即{x+y=0y+2z=0，
令z=1，则x=2，y=−2，故→n=(2,−2,1)，
又F(1，2，0)，D1(0，2，2)，
所以→FD1=(−1,0,2)，
则→n⋅→FD1=0，又D1F⊄平面A1EC，
故D1F//平面A1EC1；
（2）解：由（1）可知，→AC1=(2,2,2)，
则|cos<→n,→AC1>|=|→n⋅→AC1||→n||→AC1|=23×2√3=√39，
故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为√39；
（3）解：由（1）可知，→AA1=(0,0,2)，
设平面AA1C1的法向量为→m=(a,b,c)，
则{→m⋅→AA1=0→m⋅→A1C1=0，即{c=0a+b=0，
令a=1，则b=−1，故→m=(1,−1,0)，
所以|cos<→m,→n>|=|→m⋅→n||→m||→n|=43×√2=2√23，
故二面角A−A1C1−E的正弦值为√1−(2√23)2=13．
点评：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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