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2021年高考数学天津15

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15．（5分）在边长为1的等边三角形

$ABC$ 中，

$D$ 为线段

$BC$ 上的动点，

$DE\bot AB$ 且交

$AB$ 于点

$E$ ，

$DF//AB$ 且交

$AC$ 于点

$F$ ，则

$\vert 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\vert$ 的值为____；

$(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为 ____．
分析：设

$BE=x$ ，表示出

$BD=2x$ ，

$DE=\sqrt{3}x$ ，

$DC=1-2x$ ，利用数量积的定义与性质即可求出．
解：如图，设

$BE=x$ ，

$\because \Delta ABC$ 是边长为1等边三角形，

$DE\bot AB$ ，

$\therefore \angle BDE=30\circ$ ，

$BD=2x$ ，

$DE=\sqrt{3}x$ ，

$DC=1-2x$ ，

$\because DF//AB$ ，

$\therefore \Delta DFC$ 是边长为

$1-2x$ 等边三角形，

$DE\bot DF$ ，

$\therefore (2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF})^{2}=4{\overrightarrow{BE}}^{2}+4\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DF}+{\overrightarrow{DF}}^{2}=4x^{2}+4x(1-2x)\times \cos 0\circ +(1-2x)^{2}=1$ ，
则

$\vert 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\vert =1$ ，

$\because (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA})={\overrightarrow{DE}}^{2}+\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{EA}$

$={(\sqrt{3}x)}^{2}+(1-2x)\times (1-x)=5x^{2}-3x+1$

$=5{(x-\dfrac{3}{10})}^{2}+\dfrac{11}{20}$ ，

$x\in (0,\dfrac{1}{2})$ ，

$\therefore (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}$ 的最小值为

$\dfrac{11}{20}$ ．
故答案为：1，

$\dfrac{11}{20}$ ．
点评：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．

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