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2021年高考数学天津14<-->2021年高考数学天津16
15．（5分）在边长为1的等边三角形$ABC$中，$D$为线段$BC$上的动点，$DE\bot AB$且交$AB$于点$E$，$DF//AB$且交$AC$于点$F$，则$\vert 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\vert$的值为____；$(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}$的最小值为 ____．
分析：设$BE=x$，表示出$BD=2x$，$DE=\sqrt{3}x$，$DC=1-2x$，利用数量积的定义与性质即可求出．
解：如图，设$BE=x$，
$\because \Delta ABC$是边长为1等边三角形，$DE\bot AB$，
$\therefore \angle BDE=30\circ$，$BD=2x$，$DE=\sqrt{3}x$，$DC=1-2x$，
$\because DF//AB$，$\therefore \Delta DFC$是边长为$1-2x$等边三角形，$DE\bot DF$，
$\therefore (2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF})^{2}=4{\overrightarrow{BE}}^{2}+4\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{DF}+{\overrightarrow{DF}}^{2}=4x^{2}+4x(1-2x)\times \cos 0\circ +(1-2x)^{2}=1$，
则$\vert 2\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}\vert =1$，
$\because (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA})={\overrightarrow{DE}}^{2}+\overrightarrow{DF}\cdot \overrightarrow{EA}$
$={(\sqrt{3}x)}^{2}+(1-2x)\times (1-x)=5x^{2}-3x+1$
$=5{(x-\dfrac{3}{10})}^{2}+\dfrac{11}{20}$，$x\in (0,\dfrac{1}{2})$，
$\therefore (\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{DF})\cdot \overrightarrow{DA}$的最小值为$\dfrac{11}{20}$．
故答案为：1，$\dfrac{11}{20}$．
点评：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．
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