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2021年高考数学天津9

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9．（5分）设

$a\in R$ ，函数

$f(x)=\left\{\begin{array}x\cos (2\pi x-2\pi a)&x<a\\ {x}^{2}-2(a+1)x+{a}^{2}+5&x\geqslant a\end{array}\right.$ ，若函数

$f(x)$ 在区间

$(0,+\infty )$ 内恰有6个零点，则

$a$ 的取值范围是(　　)
A．

$(2$ ，

$\dfrac{9}{4}]\bigcup (\dfrac{5}{2}$ ，

$\dfrac{11}{4}]$ B．

$(\dfrac{7}{4}$ ，

$2]\bigcup (\dfrac{5}{2}$ ，

$\dfrac{11}{4}]$
C．

$(2$ ，

$\dfrac{9}{4}]\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$ ，

$3)$ D．

$(\dfrac{7}{4}$ ，

$2)\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$ ，

$3)$
分析：分

$x<a$ ，

$x\geqslant a$ 两种情况讨论，当

$x<a$ 时，且

$\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}$ 时，

$f(x)$ 有4个零点，

$\dfrac{9}{4}<x\leqslant \dfrac{11}{4}$ ，

$f(x)$ 有5个零点，

$\dfrac{11}{4}<x\leqslant \dfrac{13}{4}$ ，

$f(x)$ 有6个零点，当

$x>a$ 时，即

$2<a\leqslant \dfrac{5}{2}$ ，

$f(x)$ 有两个零点，当

$-2a+5<0$ 时，即

$a>\dfrac{5}{2}$ ，

$f(x)$ 有1个零点，当

$a=2$ 时，

$f(x)$ 有一个零点，综合两种情况，即可求解．
解：

$\because f(x)$ 在区间

$(0,+\infty )$ 内恰有6个零点
又

$\because$ 二次函数最多有两个零点，

$\therefore f(x)=\cos (2\pi x-2\pi a)$ 至少有四个根，

$\because f(x)=\cos (2\pi x-2\pi a)=\cos 2\pi (x-a)$ ，

$\therefore$ 令

$f(x)=0$ ，即

$2\pi (x-a)=\dfrac{\pi }{2}+k\pi$

$k\in Z$ ，

$\therefore$

$x=\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{4}+a$ ，
又

$\because x\in (0,+\infty )$ ，

$\therefore$

$0<\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{4}+a<a$ ，即

$-2a-\dfrac{1}{2}<k<-\dfrac{1}{2}$ ，
①当

$x<a$ 时，

$-5\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -4$ ，

$f(x)$ 有4个零点，即

$\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}$ ，

$-6\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -5$ ，

$f(x)$ 有5个零点，即

$\dfrac{9}{4}<x\leqslant \dfrac{11}{4}$ ，

$-7\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -6$ ，

$f(x)$ 有6个零点，即

$\dfrac{11}{4}<x\leqslant \dfrac{13}{4}$ ，
②当

$x\geqslant a$ 时，

$f(x)=x^{2}-2(a+1)x+a^{2}+5$ ，

$\therefore$ △

$=b^{2}-4ac=4(a+1)^{2}-4(a^{2}+5)=8a-16=0$ ，解得

$a=2$ ，
当

$a<2$ 时，△

$<0$ ，

$f(x)$ 无零点，
当

$a=2$ 时，△

$=0$ ，

$f(x)$ 有1个零点，
当

$a>2$ 时，

$f$ （a）

$=a^{2}-2a(a+1)+a^{2}+5=-2a+5$ ，

$\because f(x)$ 的对称轴

$x=a+1$ ，即

$f$ （a）在对称轴的左边，

$\therefore$ 当

$-2a+5\geqslant 0$ 时，即

$2<a\leqslant \dfrac{5}{2}$ ，

$f(x)$ 有两个零点，
当

$-2a+5<0$ 时，即

$a>\dfrac{5}{2}$ ，

$f(x)$ 有1个零点，
综合①②可得，若函数

$f(x)$ 在区间

$(0,+\infty )$ 内恰有6个零点，则需满足：

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}}\\ {2<a\leqslant \dfrac{5}{2}}\end{array}\right.$ 或

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} \dfrac{9}{4}<a\dfrac{11}{4} \\ a>\dfrac{5}{2}a=2 \\ \end{array} \right.$ 或

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{11}{4}<a\leqslant \dfrac{13}{4}}\\ {a<2}\end{array}\right.$ ，
解得

$a\in (2$ ，

$\dfrac{9}{4}]\bigcup (\dfrac{5}{2}$ ，

$\dfrac{11}{4}]$ ．
故选：

$A$ ．
点评：本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．

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