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2021年高考数学天津8<-->2021年高考数学天津10
9．（5分）设$a\in R$，函数$f(x)=\left\{\begin{array}x\cos (2\pi x-2\pi a)&x<a\\ {x}^{2}-2(a+1)x+{a}^{2}+5&x\geqslant a\end{array}\right.$，若函数$f(x)$在区间$(0,+\infty )$内恰有6个零点，则$a$的取值范围是( )
A．$(2$，$\dfrac{9}{4}]\bigcup (\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{11}{4}]$ B．$(\dfrac{7}{4}$，$2]\bigcup (\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{11}{4}]$
C．$(2$，$\dfrac{9}{4}]\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$，$3)$ D．$(\dfrac{7}{4}$，$2)\bigcup{[}\dfrac{11}{4}$，$3)$
分析：分$x<a$，$x\geqslant a$两种情况讨论，当$x<a$时，且$\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}$时，$f(x)$有4个零点，$\dfrac{9}{4}<x\leqslant \dfrac{11}{4}$，$f(x)$有5个零点，$\dfrac{11}{4}<x\leqslant \dfrac{13}{4}$，$f(x)$有6个零点，当$x>a$时，即$2<a\leqslant \dfrac{5}{2}$，$f(x)$有两个零点，当$-2a+5<0$时，即$a>\dfrac{5}{2}$，$f(x)$有1个零点，当$a=2$时，$f(x)$有一个零点，综合两种情况，即可求解．
解：$\because f(x)$在区间$(0,+\infty )$内恰有6个零点
又$\because$二次函数最多有两个零点，
$\therefore f(x)=\cos (2\pi x-2\pi a)$至少有四个根，
$\because f(x)=\cos (2\pi x-2\pi a)=\cos 2\pi (x-a)$，
$\therefore$令$f(x)=0$，即$2\pi (x-a)=\dfrac{\pi }{2}+k\pi$$k\in Z$，
$\therefore$$x=\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{4}+a$，
又$\because x\in (0,+\infty )$，
$\therefore$$0<\dfrac{k}{2}+\dfrac{1}{4}+a<a$，即$-2a-\dfrac{1}{2}<k<-\dfrac{1}{2}$，
①当$x<a$时，$-5\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -4$，$f(x)$有4个零点，即$\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}$，
$-6\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -5$，$f(x)$有5个零点，即$\dfrac{9}{4}<x\leqslant \dfrac{11}{4}$，
$-7\leqslant -2a-\dfrac{1}{2}\leqslant -6$，$f(x)$有6个零点，即$\dfrac{11}{4}<x\leqslant \dfrac{13}{4}$，
②当$x\geqslant a$时，$f(x)=x^{2}-2(a+1)x+a^{2}+5$，
$\therefore$△$=b^{2}-4ac=4(a+1)^{2}-4(a^{2}+5)=8a-16=0$，解得$a=2$，
当$a<2$时，△$<0$，$f(x)$无零点，
当$a=2$时，△$=0$，$f(x)$有1个零点，
当$a>2$时，$f$（a）$=a^{2}-2a(a+1)+a^{2}+5=-2a+5$，
$\because f(x)$的对称轴$x=a+1$，即$f$（a）在对称轴的左边，
$\therefore$当$-2a+5\geqslant 0$时，即$2<a\leqslant \dfrac{5}{2}$，$f(x)$有两个零点，
当$-2a+5<0$时，即$a>\dfrac{5}{2}$，$f(x)$有1个零点，
综合①②可得，若函数$f(x)$在区间$(0,+\infty )$内恰有6个零点，则需满足：
$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{7}{4}<a\leqslant \dfrac{9}{4}}\\ {2<a\leqslant \dfrac{5}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}
\dfrac{9}{4}<a\dfrac{11}{4} \\
a>\dfrac{5}{2}a=2 \\
\end{array} \right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{11}{4}<a\leqslant \dfrac{13}{4}}\\ {a<2}\end{array}\right.$，
解得$a\in (2$，$\dfrac{9}{4}]\bigcup (\dfrac{5}{2}$，$\dfrac{11}{4}]$．
故选：$A$．
点评：本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．
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