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2021年高考数学天津12<-->2021年高考数学天津14
13．（5分）已知$a>0$，$b>0$，则$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b$的最小值为____．
分析：先利用基本不等式得到$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b\geqslant \dfrac{2}{b}+b$，再利用基本不等式得到$\dfrac{2}{b}+b\geqslant 2\sqrt{2}$，最后求出两次利用基本不等式取等号时的$a$，$b$的值即可．
解：$\because a>0$，$b>0$，$\therefore$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b\geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{a}{{b}^{2}}}+b=\dfrac{2}{b}+b\geqslant 2\sqrt{2}$，
当且仅当$\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{{b}^{2}}$且$b=\dfrac{2}{b}$，即$a=b=\sqrt{2}$时取等号，
$\therefore$$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b$的最小值为$2\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{2}$．
点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．
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