2021年高考数学天津13

13．（5分）已知

$a>0$ ，

$b>0$ ，则

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b$ 的最小值为____．
分析：先利用基本不等式得到

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b\geqslant \dfrac{2}{b}+b$ ，再利用基本不等式得到

$\dfrac{2}{b}+b\geqslant 2\sqrt{2}$ ，最后求出两次利用基本不等式取等号时的

$a$ ，

$b$ 的值即可．
解：

$\because a>0$ ，

$b>0$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b\geqslant 2\sqrt{\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{a}{{b}^{2}}}+b=\dfrac{2}{b}+b\geqslant 2\sqrt{2}$ ，
当且仅当

$\dfrac{1}{a}=\dfrac{a}{{b}^{2}}$ 且

$b=\dfrac{2}{b}$ ，即

$a=b=\sqrt{2}$ 时取等号，

$\therefore$

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{a}{{b}^{2}}+b$ 的最小值为

$2\sqrt{2}$ ，
故答案为：

$2\sqrt{2}$ ．
点评：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．

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