2021年高考数学天津18<-->2021年高考数学天津20
19.(15分)已知数列{an}是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4,b3−b2=48. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)记cn=b2n+1bn,n∈N∗. (i)证明:{c2n−c2n}是等比数列; (ii)证明:∑nk=1√akak+1c2k−c2k<2√2(n∈N∗). 分析:(1)由等差数列的求和公式,解方程可得首项,进而得到an;由等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到bn; (2)(i)利用已知数列的通项公式,表示出cn,然后利用等比数列的定义证明即可; (ii)设pn=√anan+1cn2−c2n=√(2n−1)(2n+1)2⋅4n,然后利用放缩法得到pn<√2⋅n2n,再利用错位相减法求解数列{n2n}的和,即可判断以n∑k=1qk=2−n+22n<2,从而证明不等式. 证明:(1)由数列{an}是公差d为2的等差数列,其前8项的和为64, 可得8a1+12×8×7d=64,解得a1=1, 所以an=1+2(n−1)=2n−1,n∈N; 由数列{bn}是公比q大于0的等比数列,b1=4,b3−b2=48, 可得4q2−4q=48,解得q=4(−3舍去), 所以bn=4n,n∈N; (2)(i)证明:因为an=2n−1,bn=4n, 所以cn=b2n+1bn=42n+14n, 则c2n−c2n=(42n+14n)2−(44n+142n)=42n+2⋅4n+142n−44n−142n=2⋅4n, 所以cn+12−c2n+2cn2−c2n=2⋅4n+12⋅4n=4, 又c12−c2=(42+14)2−(44+142)=8, 所以数列{c2n−c2n}是以8为首项,4为公比的等比数列; (ii)证明:设pn=√anan+1cn2−c2n=√(2n−1)(2n+1)2⋅4n=√4n2−12⋅4n<√4n22⋅4n=√2⋅n2n, 考虑qn=n2n,则pn<√2qn, 所以n∑k=1qk=12+222+...+n2n, 则12n∑k=1qk=122+223+⋅⋅⋅+n2n+1, 两式相减可得,12n∑k=1qk=12+122+⋅⋅⋅+12n−n2n+1=12×(1−12n)1−12−n2n+1=1−n+22n+1, 所以n∑k=1qk=2−n+22n<2, 则n∑k=1√akak+1ck2−c2k<√2n∑k=1qk<2√2, 故n∑k=1√akak+1ck2−c2k<2√2. 点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,以及数列的错位相减法求和、不等式的证明,考查方程思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
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