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2021年高考数学天津19

19.(15分)已知数列{an}是公差为2的等差数列,其前8项的和为64.数列{bn}是公比大于0的等比数列,b1=4b3b2=48
(1)求数列{an}{bn}的通项公式;
(2)记cn=b2n+1bnnN
(i)证明:{c2nc2n}是等比数列;
(ii)证明:nk=1akak+1c2kc2k<22(nN)
分析:(1)由等差数列的求和公式,解方程可得首项,进而得到an;由等比数列的通项公式,解方程可得公比,进而得到bn
(2)(i)利用已知数列的通项公式,表示出cn,然后利用等比数列的定义证明即可;
(ii)pn=anan+1cn2c2n=(2n1)(2n+1)24n,然后利用放缩法得到pn<2n2n,再利用错位相减法求解数列{n2n}的和,即可判断以nk=1qk=2n+22n<2,从而证明不等式.
证明:(1)由数列{an}是公差d为2的等差数列,其前8项的和为64,
可得8a1+12×8×7d=64,解得a1=1
所以an=1+2(n1)=2n1nN
由数列{bn}是公比q大于0的等比数列,b1=4b3b2=48
可得4q24q=48,解得q=4(3舍去),
所以bn=4nnN
(2)(i)证明:因为an=2n1bn=4n
所以cn=b2n+1bn=42n+14n
c2nc2n=(42n+14n)2(44n+142n)=42n+24n+142n44n142n=24n
所以cn+12c2n+2cn2c2n=24n+124n=4
c12c2=(42+14)2(44+142)=8
所以数列{c2nc2n}是以8为首项,4为公比的等比数列;
(ii)证明:设pn=anan+1cn2c2n=(2n1)(2n+1)24n=4n2124n<4n224n=2n2n
考虑qn=n2n,则pn<2qn
所以nk=1qk=12+222+...+n2n
12nk=1qk=122+223++n2n+1
两式相减可得,12nk=1qk=12+122++12nn2n+1=12×(112n)112n2n+1=1n+22n+1
所以nk=1qk=2n+22n<2
nk=1akak+1ck2c2k<2nk=1qk<22
nk=1akak+1ck2c2k<22
点评:本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式,以及数列的错位相减法求和、不等式的证明,考查方程思想和运算能力、推理能力,属于中档题.
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