2021年高考数学天津12

12．（5分）若斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线与

$y$ 轴交于点

$A$ ，与圆

$x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切于点

$B$ ，则

$\vert AB\vert =$ ____．

分析：由题意如图可得

$AB$ 与半径

$BC$ 的关系，再由切线的斜率可得

$\vert AB\vert$ 的值．
解假设

$A$ 在

$x$ 轴的上方，斜率为

$\sqrt{3}$ 的直线与

$x$ 轴交于

$D$ ，
则可得

$\tan \angle ADO=\sqrt{3}$ ，所以

$\cot \angle BAC=\sqrt{3}$ ，如图所示，由圆

$C$ 的方程可得，圆的半径为

$\vert BC\vert =1$ ，
由于

$B$ 为切点，所以

$AB\bot BC$ ，所以

$\vert AB\vert =\vert BC\vert \cdot \cot \angle BAC=\sqrt{3}$ ，
故答案为：

$\sqrt{3}$ ．

点评：本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．

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