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2021年高考数学天津5<-->2021年高考数学天津7
6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为$\dfrac{32\pi }{3}$，两个圆锥的高之比为$1:3$，则这两个圆锥的体积之和为( )
A．$3\pi$ B．$4\pi$ C．$9\pi$ D．$12\pi$
分析：由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，代入圆锥体积公式得答案．
解：如图，设球$O$的半径为$R$，由题意，$\dfrac{4}{3}\pi {R}^{3}=\dfrac{32\pi }{3}$，
可得$R=2$，则球$O$的直径为4，
$\because$两个圆锥的高之比为$1:3$，$\therefore AO_{1}=1$，$BO_{1}=3$，
由直角三角形中的射影定理可得：$r^{2}=1\times 3$，即$r=\sqrt{3}$．
$\therefore$这两个圆锥的体积之和为$V=\dfrac{1}{3}\pi \times (\sqrt{3})^{2}\times (1+3)=4\pi$．
故选：$B$．
点评：本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
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