2021年高考数学天津6

6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为

$\dfrac{32\pi }{3}$ ，两个圆锥的高之比为

$1:3$ ，则这两个圆锥的体积之和为(　　)
A．

$3\pi$ B．

$4\pi$ C．

$9\pi$ D．

$12\pi$
分析：由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，代入圆锥体积公式得答案．
解：如图，设球

$O$ 的半径为

$R$ ，由题意，

$\dfrac{4}{3}\pi {R}^{3}=\dfrac{32\pi }{3}$ ，

可得

$R=2$ ，则球

$O$ 的直径为4，

$\because$ 两个圆锥的高之比为

$1:3$ ，

$\therefore AO_{1}=1$ ，

$BO_{1}=3$ ，
由直角三角形中的射影定理可得：

$r^{2}=1\times 3$ ，即

$r=\sqrt{3}$ ．

$\therefore$ 这两个圆锥的体积之和为

$V=\dfrac{1}{3}\pi \times (\sqrt{3})^{2}\times (1+3)=4\pi$ ．
故选：

$B$ ．

点评：本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．

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