|
2021年高考数学天津7<-->2021年高考数学天津9
8．（5分）已知双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$的右焦点与抛物线$y^{2}=2px(p>0)$的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于$A$，$B$两点，交双曲线的渐近线于$C$，$D$两点，若$\vert CD\vert =\sqrt{2}\vert AB\vert$，则双曲线的离心率为( )
A．$\sqrt{2}$ B．$\sqrt{3}$ C．2 D．3
分析：由题意可得$p$，$c$的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出$\vert AB\vert$，$\vert CD\vert$的一半的表达式，由题意可得$a$，$c$的关系，进而求出双曲线的离心率．
解由题意可得抛物线的准线方程为$x=-\dfrac{p}{2}$，设$AB$，$CD$与$x$轴分别交于$M$，$N$，
由$\vert CD\vert =\sqrt{2}\vert AB\vert$，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得$\vert CN\vert =\sqrt{2}\vert AM\vert$，
由题意可得：$\dfrac{p}{2}=c$，即$p=2c$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\ {x=-\dfrac{p}{2}}\end{array}\right.$解得：$\vert y\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}$，所以$\vert AM\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=-\dfrac{p}{2}}\\ {y=\dfrac{b}{a}x}\end{array}\right.$可得：$\vert y\vert =\dfrac{bc}{a}$，所以$\vert CN\vert =\dfrac{bc}{a}$，
所以可得$\dfrac{bc}{a}=\sqrt{2}\cdot \dfrac{{b}^{2}}{a}$，可得$c=\sqrt{2}b$，
所以$c^{2}=2b^{2}=2(c^{2}-a^{2})$，
解得：$c=\sqrt{2}a$，所以双曲线的离心率$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}$，
故选：$A$．
点评：本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．
2021年高考数学天津7<-->2021年高考数学天津9
全网搜索"2021年高考数学天津8"相关
|
