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2021年高考数学天津8

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8．（5分）已知双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>0,b>0)$ 的右焦点与抛物线

$y^{2}=2px(p>0)$ 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于

$A$ ，

$B$ 两点，交双曲线的渐近线于

$C$ ，

$D$ 两点，若

$\vert CD\vert =\sqrt{2}\vert AB\vert$ ，则双曲线的离心率为(　　)
A．

$\sqrt{2}$ B．

$\sqrt{3}$ C．2 D．3
分析：由题意可得

$p$ ，

$c$ 的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出

$\vert AB\vert$ ，

$\vert CD\vert$ 的一半的表达式，由题意可得

$a$ ，

$c$ 的关系，进而求出双曲线的离心率．
解由题意可得抛物线的准线方程为

$x=-\dfrac{p}{2}$ ，设

$AB$ ，

$CD$ 与

$x$ 轴分别交于

$M$ ，

$N$ ，
由

$\vert CD\vert =\sqrt{2}\vert AB\vert$ ，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得

$\vert CN\vert =\sqrt{2}\vert AM\vert$ ，
由题意可得：

$\dfrac{p}{2}=c$ ，即

$p=2c$ ，
可得

$\left\{\begin{array}{l}{\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\\ {x=-\dfrac{p}{2}}\end{array}\right.$ 解得：

$\vert y\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}$ ，所以

$\vert AM\vert =\dfrac{{b}^{2}}{a}$ ，

$\left\{\begin{array}{l}{x=-\dfrac{p}{2}}\\ {y=\dfrac{b}{a}x}\end{array}\right.$ 可得：

$\vert y\vert =\dfrac{bc}{a}$ ，所以

$\vert CN\vert =\dfrac{bc}{a}$ ，
所以可得

$\dfrac{bc}{a}=\sqrt{2}\cdot \dfrac{{b}^{2}}{a}$ ，可得

$c=\sqrt{2}b$ ，
所以

$c^{2}=2b^{2}=2(c^{2}-a^{2})$ ，
解得：

$c=\sqrt{2}a$ ，所以双曲线的离心率

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{2}$ ，
故选：

$A$ ．
点评：本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．

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