2021年北京

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2021年高考数学北京1已知集合$A=\{x\vert -1 A．$\{x\vert 0\leqslant x<1\}$ B．$\{x\vert -1【答案详解】

2021年高考数学北京2在复平面内，复数$z$满足$(1-i)\cdot z=2$，则$z=$(　　)
A．$2+i$ B．$2-i$ C．$1-i$ D．$1+i$【答案详解】

2021年高考数学北京3设函数$f(x)$的定义域为$[0$，$1]$，则“函数$f(x)$在$[0$，$1]$上单调递增”是“函数$f(x)$在$[0$，$1]$上的最大值为$f$（1）”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2021年高考数学北京4某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)

A．$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$ B．4 C．$3+\sqrt{3}$ D．2【答案详解】

2021年高考数学北京5双曲线$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$过点$(\sqrt{2}$，$\sqrt{3})$，离心率为2，则双曲线的解析式为(　　)
A．$\dfrac{{x}^{2}}{3}-y^{2}=1$
B．$x^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$
C．$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$
D．$\dfrac{{x}^{2}}{3}-\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$【答案详解】

2021年高考数学北京6已知$\{a_{n}\}$和$\{b_{n}\}$是两个等差数列，且$\dfrac{{a}_{k}}{{b}_{k}}(1\leqslant k\leqslant 5)$是常值，若$a_{1}=288$，$a_{5}=96$，$b_{1}=192$，则$b_{3}$的值为(　　)
A．64 B．100 C．128 D．132【答案详解】

2021年高考数学北京7已知函数$f(x)=\cos x-\cos 2x$，试判断该函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为$\dfrac{9}{8}$
D．偶函数，最大值为$\dfrac{9}{8}$【答案详解】

2021年高考数学北京8对24小时内降水在平地上的积水厚度$(mm)$进行如下定义：

$0\sim 10$	$10\sim 25$	$25\sim 50$	$50\sim 100$
小雨	中雨	大雨	暴雨

小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　)

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案详解】

2021年高考数学北京9已知圆$C:x^{2}+y^{2}=4$，直线$l:y=kx+m$，若当$k$的值发生变化时，直线被圆$C$所截的弦长的最小值为2，则$m$的取值为(　　)
A．$\pm 2$ B．$\pm \sqrt{2}$ C．$\pm \sqrt{3}$ D．$\pm 3$【答案详解】

2021年高考数学北京10数列$\{a_{n}\}$是递增的整数数列，且$a_{1}\geqslant 3$，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=100$，则$n$的最大值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12【答案详解】

2021年高考数学北京11$(x^{3}-\dfrac{1}{x})^{4}$的展开式中常数项是____．【答案详解】

2021年高考数学北京12已知抛物线$C:y^{2}=4x$，$C$的焦点为$F$，点$M$在$C$上，且$\vert FM\vert =6$，则$M$的横坐标是______；作$MN\bot x$轴于$N$，则$S_{\Delta FMN}=$______．【答案详解】

2021年高考数学北京13已知$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow{b}=(2,-1)$，$\overrightarrow{c}=(0,1)$，则$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=$____；$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=$____．【答案详解】

2021年高考数学北京14若$P(\cos \theta ,\sin \theta )$与$Q(\cos (\theta +\dfrac{\pi }{6})$，$\sin (\theta +\dfrac{\pi }{6}))$关于$y$轴对称，写出一个符合题意的$\theta$值______．【答案详解】

2021年高考数学北京15已知$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$，给出下列四个结论：
（1）若$k=0$，则$f(x)$有两个零点；
（2）$\exists k<0$，使得$f(x)$有一个零点；
（3）$\exists k<0$，使得$f(x)$有三个零点；
（4）$\exists k>0$，使得$f(x)$有三个零点．
以上正确结论的序号是____．【答案详解】

2021年高考数学北京16已知在$\Delta ABC$中，$c=2b\cos B$，$C=\dfrac{2\pi }{3}$．
（1）求$B$的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使$\Delta ABC$存在且唯一确定，并求$BC$边上的中线的长度．
①$c=\sqrt{2}b$；②周长为$4+2\sqrt{3}$；③面积为$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$．【答案详解】

2021年高考数学北京17已知正方体$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$，点$E$为$A_{1}D_{1}$中点，直线$B_{1}C_{1}$交平面$CDE$于点$F$．
（1）求证：点$F$为$B_{1}C_{1}$中点；
（2）若点$M$为棱$A_{1}B_{1}$上一点，且二面角$M-CF-E$的余弦值为$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$，求$\dfrac{{A}_{1}M}{{A}_{1}{B}_{1}}$．

【答案详解】

2021年高考数学北京18为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“$k$合1检测法”，即将$k$个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为$\dfrac{1}{11}$，定义随机变量$X$为总检测次数，求检测次数$X$的分布列和数学期望$E(X)$；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数$Y$的期望为$E(Y)$，试比较$E(X)$和$E(Y)$的大小．（直接写出结果）【答案详解】

2021年高考数学北京19已知函数$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}+a}$．
（1）若$a=0$，求$y=f(x)$在$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程；
（2）若函数$f(x)$在$x=-1$处取得极值，求$f(x)$的单调区间，以及最大值和最小值．【答案详解】

2021年高考数学北京20已知椭圆$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$过点$A(0,-2)$，以四个顶点围成的四边形面积为$4\sqrt{5}$．
（1）求椭圆$E$的标准方程；
（2）过点$P(0,-3)$的直线$l$斜率为$k$，交椭圆$E$于不同的两点$B$，$C$，直线$AB$、$AC$交$y=-3$于点$M$、$N$，若$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$，求$k$的取值范围．【答案详解】

2021年高考数学北京21定义$R_{p}$数列$\{a_{n}\}$：对$p\in R$，满足：
①$a_{1}+p\geqslant 0$，$a_{2}+p=0$；
②$\forall n\in N^*，a_{4n-1} < a_{4n}$；
③$\forall m$，$n\in N^* $，$a_{m+n}\in \{a_{m}+a_{n}+p$，$a_{m}+a_{n}+p+1\}$．
（1）对前4项2，$-2$，0，1的数列，可以是$R_{2}$数列吗？说明理由；
（2）若$\{a_{n}\}$是$R_{0}$数列，求$a_{5}$的值；
（3）若$S_{n}$是数列$\{a_{n}\}$的前$n$项和，是否存在$p\in R$，使得存在$R_{p}$数列$\{a_{n}\}$，对任意$n\in N^*$，满足$S_{n}\geqslant S_{10}$？若存在，求出所有这样的$p$；若不存在，说明理由．【答案详解】

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