2021年北京

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2021年高考数学北京1已知集合$A=\{x\vert -1 A．

$\{x\vert 0\leqslant x<1\}$ B．$\{x\vert -1【答案详解】

2021年高考数学北京2在复平面内，复数

$z$ 满足

$(1-i)\cdot z=2$ ，则

$z=$ (　　)
A．

$2+i$ B．

$2-i$ C．

$1-i$ D．

$1+i$ 【答案详解】

2021年高考数学北京3设函数

$f(x)$ 的定义域为

$[0$ ，

$1]$ ，则“函数

$f(x)$ 在

$[0$ ，

$1]$ 上单调递增”是“函数

$f(x)$ 在

$[0$ ，

$1]$ 上的最大值为

$f$ （1）”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2021年高考数学北京4某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为(　　)

A．

$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$ B．4 C．

$3+\sqrt{3}$ D．2【答案详解】

2021年高考数学北京5双曲线

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 过点

$(\sqrt{2}$ ，

$\sqrt{3})$ ，离心率为2，则双曲线的解析式为(　　)
A．

$\dfrac{{x}^{2}}{3}-y^{2}=1$
B．

$x^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$
C．

$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$
D．

$\dfrac{{x}^{2}}{3}-\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$ 【答案详解】

2021年高考数学北京6已知

$\{a_{n}\}$ 和

$\{b_{n}\}$ 是两个等差数列，且

$\dfrac{{a}_{k}}{{b}_{k}}(1\leqslant k\leqslant 5)$ 是常值，若

$a_{1}=288$ ，

$a_{5}=96$ ，

$b_{1}=192$ ，则

$b_{3}$ 的值为(　　)
A．64 B．100 C．128 D．132【答案详解】

2021年高考数学北京7已知函数

$f(x)=\cos x-\cos 2x$ ，试判断该函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2
B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为

$\dfrac{9}{8}$
D．偶函数，最大值为

$\dfrac{9}{8}$ 【答案详解】

2021年高考数学北京8对24小时内降水在平地上的积水厚度

$(mm)$ 进行如下定义：

$0\sim 10$	$10\sim 25$	$25\sim 50$	$50\sim 100$
小雨	中雨	大雨	暴雨

小明用一个圆锥形容器接了24小时的雨水，则这一天的雨水属于哪个等级(　　)

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨【答案详解】

2021年高考数学北京9已知圆

$C:x^{2}+y^{2}=4$ ，直线

$l:y=kx+m$ ，若当

$k$ 的值发生变化时，直线被圆

$C$ 所截的弦长的最小值为2，则

$m$ 的取值为(　　)
A．

$\pm 2$ B．

$\pm \sqrt{2}$ C．

$\pm \sqrt{3}$ D．

$\pm 3$ 【答案详解】

2021年高考数学北京10数列

$\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，且

$a_{1}\geqslant 3$ ，

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=100$ ，则

$n$ 的最大值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12【答案详解】

2021年高考数学北京11

$(x^{3}-\dfrac{1}{x})^{4}$ 的展开式中常数项是____．【答案详解】

2021年高考数学北京12已知抛物线

$C:y^{2}=4x$ ，

$C$ 的焦点为

$F$ ，点

$M$ 在

$C$ 上，且

$\vert FM\vert =6$ ，则

$M$ 的横坐标是______；作

$MN\bot x$ 轴于

$N$ ，则

$S_{\Delta FMN}=$ ______．【答案详解】

2021年高考数学北京13已知

$\overrightarrow{a}=(2,1)$ ，

$\overrightarrow{b}=(2,-1)$ ，

$\overrightarrow{c}=(0,1)$ ，则

$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot \overrightarrow{c}=$ ____；

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=$ ____．【答案详解】

2021年高考数学北京14若

$P(\cos \theta ,\sin \theta )$ 与

$Q(\cos (\theta +\dfrac{\pi }{6})$ ，

$\sin (\theta +\dfrac{\pi }{6}))$ 关于

$y$ 轴对称，写出一个符合题意的

$\theta$ 值______．【答案详解】

2021年高考数学北京15已知

$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$ ，给出下列四个结论：
（1）若

$k=0$ ，则

$f(x)$ 有两个零点；
（2）

$\exists k<0$ ，使得

$f(x)$ 有一个零点；
（3）

$\exists k<0$ ，使得

$f(x)$ 有三个零点；
（4）

$\exists k>0$ ，使得

$f(x)$ 有三个零点．
以上正确结论的序号是____．【答案详解】

2021年高考数学北京16已知在

$\Delta ABC$ 中，

$c=2b\cos B$ ，

$C=\dfrac{2\pi }{3}$ ．
（1）求

$B$ 的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使

$\Delta ABC$ 存在且唯一确定，并求

$BC$ 边上的中线的长度．
①

$c=\sqrt{2}b$ ；②周长为

$4+2\sqrt{3}$ ；③面积为

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ ．【答案详解】

2021年高考数学北京17已知正方体

$ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ ，点

$E$ 为

$A_{1}D_{1}$ 中点，直线

$B_{1}C_{1}$ 交平面

$CDE$ 于点

$F$ ．
（1）求证：点

$F$ 为

$B_{1}C_{1}$ 中点；
（2）若点

$M$ 为棱

$A_{1}B_{1}$ 上一点，且二面角

$M-CF-E$ 的余弦值为

$\dfrac{\sqrt{5}}{3}$ ，求

$\dfrac{{A}_{1}M}{{A}_{1}{B}_{1}}$ ．

【答案详解】

2021年高考数学北京18为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“

$k$ 合1检测法”，即将

$k$ 个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．
（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；
②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为

$\dfrac{1}{11}$ ，定义随机变量

$X$ 为总检测次数，求检测次数

$X$ 的分布列和数学期望

$E(X)$ ；
（2）若采用“5合1检测法”，检测次数

$Y$ 的期望为

$E(Y)$ ，试比较

$E(X)$ 和

$E(Y)$ 的大小．（直接写出结果）【答案详解】

2021年高考数学北京19已知函数

$f(x)=\dfrac{3-2x}{{x}^{2}+a}$ ．
（1）若

$a=0$ ，求

$y=f(x)$ 在

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程；
（2）若函数

$f(x)$ 在

$x=-1$ 处取得极值，求

$f(x)$ 的单调区间，以及最大值和最小值．【答案详解】

2021年高考数学北京20已知椭圆

$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为

$4\sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆

$E$ 的标准方程；
（2）过点

$P(0,-3)$ 的直线

$l$ 斜率为

$k$ ，交椭圆

$E$ 于不同的两点

$B$ ，

$C$ ，直线

$AB$ 、

$AC$ 交

$y=-3$ 于点

$M$ 、

$N$ ，若

$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$ ，求

$k$ 的取值范围．【答案详解】

2021年高考数学北京21定义

$R_{p}$ 数列

$\{a_{n}\}$ ：对

$p\in R$ ，满足：
①

$a_{1}+p\geqslant 0$ ，

$a_{2}+p=0$ ；
②

$\forall n\in N^*，a_{4n-1} < a_{4n}$ ；
③

$\forall m$ ，

$n\in N^*$ ，

$a_{m+n}\in \{a_{m}+a_{n}+p$ ，

$a_{m}+a_{n}+p+1\}$ ．
（1）对前4项2，

$-2$ ，0，1的数列，可以是

$R_{2}$ 数列吗？说明理由；
（2）若

$\{a_{n}\}$ 是

$R_{0}$ 数列，求

$a_{5}$ 的值；
（3）若

$S_{n}$ 是数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，是否存在

$p\in R$ ，使得存在

$R_{p}$ 数列

$\{a_{n}\}$ ，对任意

$n\in N^*$ ，满足

$S_{n}\geqslant S_{10}$ ？若存在，求出所有这样的

$p$ ；若不存在，说明理由．【答案详解】

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