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2021年高考数学北京19<-->2021年高考数学北京21
20．（15分）已知椭圆$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$过点$A(0,-2)$，以四个顶点围成的四边形面积为$4\sqrt{5}$．
（1）求椭圆$E$的标准方程；
（2）过点$P(0,-3)$的直线$l$斜率为$k$，交椭圆$E$于不同的两点$B$，$C$，直线$AB$、$AC$交$y=-3$于点$M$、$N$，若$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$，求$k$的取值范围．
分析：（1）利用椭圆过点$A$，求出$b$的值，再由四边形的面积，求出$a$的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线$l$的方程，联立直线与椭圆的方程，由△$>0$，得到$k$的取值范围，并且得到韦达定理，求出$y_{1}y_{2}$，$y_{1}+y_{2}$的表达式，再设出直线$AB$，$AC$的方程，求出点$M$，$N$的坐标，表示出$\vert PM\vert +\vert PN\vert$，化简整理结合$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$，得到$k$的范围，从而得到答案．
解：（1）因为椭圆$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$过点$A(0,-2)$，则$b=2$，
又因为以四个顶点围成的四边形面积为$4\sqrt{5}$，
所以$\dfrac{1}{2}\times 2a\times 2b=4\sqrt{5}$，解得$a=\sqrt{5}$，
故椭圆$E$的标准方程为$\dfrac{{x}^{2}}{5}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由题意，设直线$l$的方程为$y-(-3)=k(x-0)$，即$y=kx-3$，
当$k=0$时，直线$l$与椭圆$E$没有交点，而直线$l$交椭圆$E$于不同的两点$B$，$C$，
所以$k\ne 0$，
设$B(x_{1}$，$y_{1})$，$C(x_{2}$，$y_{2})$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{5}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，可得$(4+5k^{2})x^{2}-30kx+25=0$，
则△$=(-30k)^{2}-4\times 25(4+5k^{2})>0$，解得$\vert k\vert >1$，
所以${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{30k}{4+5{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{25}{4+5{k}^{2}}$，
则$y_{1}y_{2}=(kx_{1}-3)(kx_{2}-3)=k^{2}x_{1}x_{2}-3k(x_{1}+x_{2})+9=\dfrac{-20{k}^{2}+36}{4+5{k}^{2}}$，
$y_{1}+y_{2}=(kx_{1}-3)+(kx_{2}-3)=k(x_{1}+x_{2})-6=\dfrac{-24}{4+5{k}^{2}}$，
直线$AB$的方程为$y-(-2)=\dfrac{{y}_{1}-(-2)}{{x}_{1}-0}(x-0)$，即$y=\dfrac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}x-2$，
直线$AC$的方程为$y-(-2)=\dfrac{{y}_{2}-(-2)}{{x}_{2}-0}(x-0)$，即$y=\dfrac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}x-2$，
因为直线$AB$交$y=-3$于点$M$，
所以令$y=-3$，则${x}_{M}=\dfrac{-{x}_{1}}{{y}_{1}+2}$，
故$M(\dfrac{-{x}_{1}}{{y}_{1}+2},-3)$，
同理可得$N(\dfrac{-{x}_{2}}{{y}_{2}+2},-3)$，
注意到${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{25}{4+5{k}^{2}}>0$，所以$x_{1}$，$x_{2}$同号，
因为$y_{1}+2>0$，$y_{2}+2>0$，所以$x_{M}$，$x_{N}$同号，
故$\vert PM\vert +\vert PN\vert =\vert x_{M}\vert +\vert x_{N}\vert =\vert x_{M}+x_{N}\vert$，
则$\vert PM\vert +\vert PN\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{{y}_{1}+2}+\dfrac{{x}_{2}}{{y}_{2}+2}\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}({y}_{2}+2)+{x}_{2}({y}_{1}+2)}{({y}_{1}+2)({y}_{2}+2)}\vert$
$=\vert \dfrac{{x}_{1}(k{x}_{2}-3)+{x}_{2}(k{x}_{1}-3)+2({x}_{1}+{x}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}+2({y}_{1}+{y}_{2})+4}\vert$
$=\vert \dfrac{2k{x}_{1}{x}_{2}-({x}_{1}+{x}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}+2({y}_{1}+{y}_{2})+4}\vert$
$=\vert \dfrac{2k\cdot \dfrac{25}{4+5{k}^{2}}-\dfrac{30k}{4+5{k}^{2}}}{\dfrac{-20{k}^{2}+36}{4+5{k}^{2}}-\dfrac{48}{4+5{k}^{2}}+4}\vert$
$=5\vert k\vert$，
故$\vert PM\vert +\vert PN\vert =5\vert k\vert$，
又$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$，即$5\vert k\vert \leqslant 15$，即$\vert k\vert \leqslant 3$，又$\vert k\vert >1$，
所以$1<\vert k\vert \leqslant 3$，
故$k$的取值范围为$[-3$，$-1)\bigcup (1$，$3]$．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．
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