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2021年高考数学北京20

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20．（15分）已知椭圆

$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$A(0,-2)$ ，以四个顶点围成的四边形面积为

$4\sqrt{5}$ ．
（1）求椭圆

$E$ 的标准方程；
（2）过点

$P(0,-3)$ 的直线

$l$ 斜率为

$k$ ，交椭圆

$E$ 于不同的两点

$B$ ，

$C$ ，直线

$AB$ 、

$AC$ 交

$y=-3$ 于点

$M$ 、

$N$ ，若

$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$ ，求

$k$ 的取值范围．
分析：（1）利用椭圆过点

$A$ ，求出

$b$ 的值，再由四边形的面积，求出

$a$ 的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线

$l$ 的方程，联立直线与椭圆的方程，由△

$>0$ ，得到

$k$ 的取值范围，并且得到韦达定理，求出

$y_{1}y_{2}$ ，

$y_{1}+y_{2}$ 的表达式，再设出直线

$AB$ ，

$AC$ 的方程，求出点

$M$ ，

$N$ 的坐标，表示出

$\vert PM\vert +\vert PN\vert$ ，化简整理结合

$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$ ，得到

$k$ 的范围，从而得到答案．
解：（1）因为椭圆

$E:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a>b>0)$ 过点

$A(0,-2)$ ，则

$b=2$ ，
又因为以四个顶点围成的四边形面积为

$4\sqrt{5}$ ，
所以

$\dfrac{1}{2}\times 2a\times 2b=4\sqrt{5}$ ，解得

$a=\sqrt{5}$ ，
故椭圆

$E$ 的标准方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{5}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1$ ；
（2）由题意，设直线

$l$ 的方程为

$y-(-3)=k(x-0)$ ，即

$y=kx-3$ ，
当

$k=0$ 时，直线

$l$ 与椭圆

$E$ 没有交点，而直线

$l$ 交椭圆

$E$ 于不同的两点

$B$ ，

$C$ ，
所以

$k\ne 0$ ，
设

$B(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$C(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
联立方程组

$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{5}+\dfrac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$ ，可得

$(4+5k^{2})x^{2}-30kx+25=0$ ，
则△

$=(-30k)^{2}-4\times 25(4+5k^{2})>0$ ，解得

$\vert k\vert >1$ ，
所以

${x}_{1}+{x}_{2}=\dfrac{30k}{4+5{k}^{2}},{x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{25}{4+5{k}^{2}}$ ，
则

$y_{1}y_{2}=(kx_{1}-3)(kx_{2}-3)=k^{2}x_{1}x_{2}-3k(x_{1}+x_{2})+9=\dfrac{-20{k}^{2}+36}{4+5{k}^{2}}$ ，

$y_{1}+y_{2}=(kx_{1}-3)+(kx_{2}-3)=k(x_{1}+x_{2})-6=\dfrac{-24}{4+5{k}^{2}}$ ，
直线

$AB$ 的方程为

$y-(-2)=\dfrac{{y}_{1}-(-2)}{{x}_{1}-0}(x-0)$ ，即

$y=\dfrac{{y}_{1}+2}{{x}_{1}}x-2$ ，
直线

$AC$ 的方程为

$y-(-2)=\dfrac{{y}_{2}-(-2)}{{x}_{2}-0}(x-0)$ ，即

$y=\dfrac{{y}_{2}+2}{{x}_{2}}x-2$ ，
因为直线

$AB$ 交

$y=-3$ 于点

$M$ ，
所以令

$y=-3$ ，则

${x}_{M}=\dfrac{-{x}_{1}}{{y}_{1}+2}$ ，
故

$M(\dfrac{-{x}_{1}}{{y}_{1}+2},-3)$ ，
同理可得

$N(\dfrac{-{x}_{2}}{{y}_{2}+2},-3)$ ，
注意到

${x}_{1}{x}_{2}=\dfrac{25}{4+5{k}^{2}}>0$ ，所以

$x_{1}$ ，

$x_{2}$ 同号，
因为

$y_{1}+2>0$ ，

$y_{2}+2>0$ ，所以

$x_{M}$ ，

$x_{N}$ 同号，
故

$\vert PM\vert +\vert PN\vert =\vert x_{M}\vert +\vert x_{N}\vert =\vert x_{M}+x_{N}\vert$ ，
则

$\vert PM\vert +\vert PN\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{{y}_{1}+2}+\dfrac{{x}_{2}}{{y}_{2}+2}\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}({y}_{2}+2)+{x}_{2}({y}_{1}+2)}{({y}_{1}+2)({y}_{2}+2)}\vert$

$=\vert \dfrac{{x}_{1}(k{x}_{2}-3)+{x}_{2}(k{x}_{1}-3)+2({x}_{1}+{x}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}+2({y}_{1}+{y}_{2})+4}\vert$

$=\vert \dfrac{2k{x}_{1}{x}_{2}-({x}_{1}+{x}_{2})}{{y}_{1}{y}_{2}+2({y}_{1}+{y}_{2})+4}\vert$

$=\vert \dfrac{2k\cdot \dfrac{25}{4+5{k}^{2}}-\dfrac{30k}{4+5{k}^{2}}}{\dfrac{-20{k}^{2}+36}{4+5{k}^{2}}-\dfrac{48}{4+5{k}^{2}}+4}\vert$

$=5\vert k\vert$ ，
故

$\vert PM\vert +\vert PN\vert =5\vert k\vert$ ，
又

$\vert PM\vert +\vert PN\vert \leqslant 15$ ，即

$5\vert k\vert \leqslant 15$ ，即

$\vert k\vert \leqslant 3$ ，又

$\vert k\vert >1$ ，
所以

$1<\vert k\vert \leqslant 3$ ，
故

$k$ 的取值范围为

$[-3$ ，

$-1)\bigcup (1$ ，

$3]$ ．
点评：本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．

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