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2021年高考数学北京10

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10．（4分）数列

$\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，且

$a_{1}\geqslant 3$ ，

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=100$ ，则

$n$ 的最大值为(　　)
A．9 B．10 C．11 D．12
分析：数列

$\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，

$n$ 要取最大，即递增幅度尽可能为小的整数，用特殊值法代入验证，即可求解．
解：

$\because$ 数列

$\{a_{n}\}$ 是递增的整数数列，

$\therefore n$ 要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，

$\because a_{1}=3$ ，

$\therefore a_{n}=n+2$ ，
则

${S}_{n}=\dfrac{(3+n+2)n}{2}=\dfrac{5n+{n}^{2}}{2}$ ，
当

$n=10$ 时，

$a_{10}=12$ ，

$S_{10}=75$ ，

$\because 100-S_{10}=25>a_{10}=12$ ，即

$n$ 可继续增大，

$n=10$ 非最大值，
当

$n=12$ 时，

$a_{12}=14$ ，

$S_{12}=102$ ，

$\because 100-S_{12}=100-102<0$ ，不满足题意，
即

$n=11$ 为最大值．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．

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