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2021年高考数学北京9<-->2021年高考数学北京11
10．（4分）数列$\{a_{n}\}$是递增的整数数列，且$a_{1}\geqslant 3$，$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n}=100$，则$n$的最大值为( )
A．9 B．10 C．11 D．12
分析：数列$\{a_{n}\}$是递增的整数数列，$n$要取最大，即递增幅度尽可能为小的整数，用特殊值法代入验证，即可求解．
解：$\because$数列$\{a_{n}\}$是递增的整数数列，
$\therefore n$要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
$\because a_{1}=3$，
$\therefore a_{n}=n+2$，
则${S}_{n}=\dfrac{(3+n+2)n}{2}=\dfrac{5n+{n}^{2}}{2}$，
当$n=10$时，$a_{10}=12$，$S_{10}=75$，
$\because 100-S_{10}=25>a_{10}=12$，即$n$可继续增大，$n=10$非最大值，
当$n=12$时，$a_{12}=14$，$S_{12}=102$，
$\because 100-S_{12}=100-102<0$，不满足题意，
即$n=11$为最大值．
故选：$C$．
点评：本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．
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