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2021年高考数学北京15<-->2021年高考数学北京17
16．（13分）已知在$\Delta ABC$中，$c=2b\cos B$，$C=\dfrac{2\pi }{3}$．
（1）求$B$的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使$\Delta ABC$存在且唯一确定，并求$BC$边上的中线的长度．
①$c=\sqrt{2}b$；②周长为$4+2\sqrt{3}$；③面积为$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$．
分析：（1）根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，（2）选①不满足正弦定理，$\Delta ABC$不存在，选②周长为$4+2\sqrt{3}$，结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度，在$\Delta ACD$中，运用余弦定理，即可求解，选面积
为$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$，通过三角形面积公式，可求得$a$的值，再结合余弦定理，即可求解．
解：（1）$\because c=2b\cos B$，
由正弦定理可得$\sin C=2\sin B\cos B$，即$\sin C=\sin 2B$，
$\because C=\dfrac{2\pi }{3}$，
$\therefore$当$C=2B$ 时，$B=\dfrac{\pi }{3}$，即$C+B=\pi$，不符合题意，舍去，
$\therefore C+2B=\pi$，
$\therefore 2B=\dfrac{\pi }{3}$，
即$B=\dfrac{\pi }{6}$．
（2）选①$c=\sqrt{2}b$，
由正弦定理可得
$\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}$，与已知条件$c=\sqrt{2}b$矛盾，故$\Delta ABC$不存在，
选②周长为$4+2\sqrt{3}$，
$\because C=\dfrac{2\pi }{3}$，$B=\dfrac{\pi }{6}$，
$\therefore$$A=\dfrac{\pi }{6}$，
由正弦定理可得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$，即$\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{c}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2R$，
$\therefore$$a=R,b=R,c=\sqrt{3}R$，
$\therefore a+b+c=(2+\sqrt{3})R=4+2\sqrt{3}$，
$\therefore R=2$，即$a=2$，$b=2$，$c=2\sqrt{3}$，
$\therefore \Delta ABC$存在且唯一确定，
设$BC$的中点为$D$，
$\therefore CD=1$，
在$\Delta ACD$中，运用余弦定理，$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}-2AC\cdot CD\cdot \cos \angle C$，
即$A{D}^{2}=4+1-2\times 2\times 1\times (-\dfrac{1}{2})=7$，$AD=\sqrt{7}$，
$\therefore BC$边上的中线的长度$\sqrt{7}$．
选③面积为$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$，
$\because$$A=B=\dfrac{\pi }{6}$，
$\therefore a=b$，
$\therefore$${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}{a}^{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$，解得$a=\sqrt{3}$，
余弦定理可得
$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}-2\times AC\times CD\times \cos \dfrac{2\pi }{3}=3+\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{21}{4}$，
$AD=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．
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