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2021年高考数学北京16

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16．（13分）已知在

$\Delta ABC$ 中，

$c=2b\cos B$ ，

$C=\dfrac{2\pi }{3}$ ．
（1）求

$B$ 的大小；
（2）在三个条件中选择一个作为已知，使

$\Delta ABC$ 存在且唯一确定，并求

$BC$ 边上的中线的长度．
①

$c=\sqrt{2}b$ ；②周长为

$4+2\sqrt{3}$ ；③面积为

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ ．
分析：（1）根据已知条件，运用正弦定理，即可求解，（2）选①不满足正弦定理，

$\Delta ABC$ 不存在，选②周长为

$4+2\sqrt{3}$ ，结合已知条件，运用正弦定理可求三角形各边长度，在

$\Delta ACD$ 中，运用余弦定理，即可求解，选面积
为

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ ，通过三角形面积公式，可求得

$a$ 的值，再结合余弦定理，即可求解．
解：（1）

$\because c=2b\cos B$ ，
由正弦定理可得

$\sin C=2\sin B\cos B$ ，即

$\sin C=\sin 2B$ ，

$\because C=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$\therefore$ 当

$C=2B$ 时，

$B=\dfrac{\pi }{3}$ ，即

$C+B=\pi$ ，不符合题意，舍去，

$\therefore C+2B=\pi$ ，

$\therefore 2B=\dfrac{\pi }{3}$ ，
即

$B=\dfrac{\pi }{6}$ ．
（2）选①

$c=\sqrt{2}b$ ，
由正弦定理可得

$\dfrac{c}{b}=\dfrac{\sin C}{\sin B}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}$ ，与已知条件

$c=\sqrt{2}b$ 矛盾，故

$\Delta ABC$ 不存在，
选②周长为

$4+2\sqrt{3}$ ，

$\because C=\dfrac{2\pi }{3}$ ，

$B=\dfrac{\pi }{6}$ ，

$\therefore$

$A=\dfrac{\pi }{6}$ ，
由正弦定理可得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R$ ，即

$\dfrac{a}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{c}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=2R$ ，

$\therefore$

$a=R,b=R,c=\sqrt{3}R$ ，

$\therefore a+b+c=(2+\sqrt{3})R=4+2\sqrt{3}$ ，

$\therefore R=2$ ，即

$a=2$ ，

$b=2$ ，

$c=2\sqrt{3}$ ，

$\therefore \Delta ABC$ 存在且唯一确定，
设

$BC$ 的中点为

$D$ ，

$\therefore CD=1$ ，
在

$\Delta ACD$ 中，运用余弦定理，

$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}-2AC\cdot CD\cdot \cos \angle C$ ，
即

$A{D}^{2}=4+1-2\times 2\times 1\times (-\dfrac{1}{2})=7$ ，

$AD=\sqrt{7}$ ，

$\therefore BC$ 边上的中线的长度

$\sqrt{7}$ ．
选③面积为

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ ，

$\because$

$A=B=\dfrac{\pi }{6}$ ，

$\therefore a=b$ ，

$\therefore$

${S}_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}{a}^{2}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ ，解得

$a=\sqrt{3}$ ，
余弦定理可得

$AD^{2}=AC^{2}+CD^{2}-2\times AC\times CD\times \cos \dfrac{2\pi }{3}=3+\dfrac{3}{4}+\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{21}{4}$ ，

$AD=\dfrac{\sqrt{21}}{2}$ ．
点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用．考查了学生对三角函数基础知识的综合运用，属于中档题．

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