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2021年高考数学北京16<-->2021年高考数学北京18
17．（13分）已知正方体ABCD−A1B1C1D1，点E为A1D1中点，直线B1C1交平面CDE于点F．
（1）求证：点F为B1C1中点；
（2）若点M为棱A1B1上一点，且二面角M−CF−E的余弦值为√53，求A1MA1B1．
分析：（1）连结DE，利用线面平行的判定定理证明CD//平面A1B1C1D1，从而可证明CD//EF，即可证明四边形A1B1FE为平行四边形，四边形EFC1D1为平行四边形，可得A1E=B1F，ED1=FC1，即可证明B1F=FC1，故点F为B1C1的中点；
（2）建立合适的空间直角坐标系，设点M(m，0，0)，且m<0，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面CMF与CDEF的法向量，由向量的夹角公式列出关于m的关系式，求解即可得到答案．
（1）证明：
连结DE，
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，CD//C1D1，C1D1⊂平面A1B1C1D1，CD⊄平面A1B1C1D1，
则CD//平面A1B1C1D1，因为平面A1B1C1D1⋂平面CDEF=EF，
所以CD//EF，则EF//C1D1，
故A1B1//EF//C1D1，又因为A1D1//B1C1，
所以四边形A1B1FE为平行四边形，四边形EFC1D1为平行四边形，
所以A1E=B1F，ED1=FC1，
而点E为A1D1的中点，所以A1E=ED1，
故B1F=FC1，则点F为B1C1的中点；
（2）解：以点B1为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为2，设点M(m，0，0)，且m<0，
则C(0，2，−2)，E(−2，1，0)，F(0，1，0)，
故→FE=(−2,0,0),→FC=(0,1,−2),→FM=(m,−1,0)，
设平面CMF的法向量为→m=(a,b,1)，
则{→m⋅→FM=0→m⋅→FC=0，即{ma−b=0b−2=0，
所以a=2m，b=2，故→m=(2m,2,1)，
设平面CDEF的法向量为→n=(x,y,1)，
则{→n⋅→FE=0→n⋅→FC=0，即{−2x=0y−2=0，
所以x=0，y=2，故→n=(0,2,1)，
因为二面角M−CF−E的余弦值为√53，
则|cos<→m,→n>|=|→m⋅→n||→m||→n|=5√4m2+4+1×√22+1=√53，
解得m=±1，又m<0，
所以m=−1，
故A1MA1B1=12．
点评：本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面平行的性质定理的应用，二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．
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