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2021年高考数学北京4<-->2021年高考数学北京6
5．（4分）双曲线$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$过点$(\sqrt{2}$，$\sqrt{3})$，离心率为2，则双曲线的解析式为( )
A．$\dfrac{{x}^{2}}{3}-y^{2}=1$ B．$x^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$ C．$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$ D．$\dfrac{{x}^{2}}{3}-\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$
分析：利用点在椭圆上得到$a$和$b$的关系，再利用离心率为2，将离心率转化为$a$和$b$的关系，求出$a$，$b$的值，即可得到答案．
解：因为双曲线$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$过点$(\sqrt{2}$，$\sqrt{3})$，
则有$\dfrac{2}{{a}^{2}}-\dfrac{3}{{b}^{2}}=1$①，
又离心率为2，
则$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=2$②，
由①②可得，$a^{2}=1$，$b^{2}=3$，
所以双曲线的标准方程为${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$．
故选：$B$．
点评：本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量$a$，$b$的值，考查了运算能力，属于基础题．
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