2021年高考数学北京5

5．（4分）双曲线

$C:\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 过点

$(\sqrt{2}$ ，

$\sqrt{3})$ ，离心率为2，则双曲线的解析式为(　　)
A．

$\dfrac{{x}^{2}}{3}-y^{2}=1$ B．

$x^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$ C．

$\dfrac{{x}^{2}}{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$ D．

$\dfrac{{x}^{2}}{3}-\dfrac{{y}^{2}}{2}=1$
分析：利用点在椭圆上得到

$a$ 和

$b$ 的关系，再利用离心率为2，将离心率转化为

$a$ 和

$b$ 的关系，求出

$a$ ，

$b$ 的值，即可得到答案．
解：因为双曲线

$\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$ 过点

$(\sqrt{2}$ ，

$\sqrt{3})$ ，
则有

$\dfrac{2}{{a}^{2}}-\dfrac{3}{{b}^{2}}=1$ ①，
又离心率为2，
则

$e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\dfrac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}=2$ ②，
由①②可得，

$a^{2}=1$ ，

$b^{2}=3$ ，
所以双曲线的标准方程为

${x}^{2}-\dfrac{{y}^{2}}{3}=1$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题考查了双曲线的标准方程的求解，解题的关键是求出基本量

$a$ ，

$b$ 的值，考查了运算能力，属于基础题．

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