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2021年高考数学北京8<-->2021年高考数学北京10
9．（4分）已知圆$C:x^{2}+y^{2}=4$，直线$l:y=kx+m$，若当$k$的值发生变化时，直线被圆$C$所截的弦长的最小值为2，则$m$的取值为( )
A．$\pm 2$ B．$\pm \sqrt{2}$ C．$\pm \sqrt{3}$ D．$\pm 3$
分析：将直线被圆$C$所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线$l$的距离的最大值，结合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案．
解：圆$C:x^{2}+y^{2}=4$，直线$l:y=kx+m$，
直线被圆$C$所截的弦长的最小值为2，设弦长为$a$，
则圆心$C$到直线$l$的距离$d=\sqrt{4-(\dfrac{a}{2})^{2}}=\sqrt{4-\dfrac{{a}^{2}}{4}}$，
当弦长取得最小值2时，则$d$有最大值$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，
又$d=\dfrac{\vert m\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，因为$k^{2}\geqslant 0$，则$\sqrt{1+{k}^{2}}\geqslant 1$，
故$d$的最大值为$\vert m\vert =\sqrt{3}$，解得$m=\pm \sqrt{3}$．
故选：$C$．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．
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