2021年高考数学北京9

9．（4分）已知圆

$C:x^{2}+y^{2}=4$ ，直线

$l:y=kx+m$ ，若当

$k$ 的值发生变化时，直线被圆

$C$ 所截的弦长的最小值为2，则

$m$ 的取值为(　　)
A．

$\pm 2$ B．

$\pm \sqrt{2}$ C．

$\pm \sqrt{3}$ D．

$\pm 3$
分析：将直线被圆

$C$ 所截的弦长的最小值，转化为圆心到直线

$l$ 的距离的最大值，结合点到直线的距离公式，得到等式关系，求解即可得到答案．
解：圆

$C:x^{2}+y^{2}=4$ ，直线

$l:y=kx+m$ ，
直线被圆

$C$ 所截的弦长的最小值为2，设弦长为

$a$ ，
则圆心

$C$ 到直线

$l$ 的距离

$d=\sqrt{4-(\dfrac{a}{2})^{2}}=\sqrt{4-\dfrac{{a}^{2}}{4}}$ ，
当弦长取得最小值2时，则

$d$ 有最大值

$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$ ，
又

$d=\dfrac{\vert m\vert }{\sqrt{1+{k}^{2}}}$ ，因为

$k^{2}\geqslant 0$ ，则

$\sqrt{1+{k}^{2}}\geqslant 1$ ，
故

$d$ 的最大值为

$\vert m\vert =\sqrt{3}$ ，解得

$m=\pm \sqrt{3}$ ．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系的应用，主要考查了直线被圆所截得的弦长问题，点到直线距离公式的运用，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．

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