2021年高考数学北京7

7．（4分）已知函数

$f(x)=\cos x-\cos 2x$ ，试判断该函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为

$\dfrac{9}{8}$ D．偶函数，最大值为

$\dfrac{9}{8}$
分析：先利用二倍角公式将函数

$f(x)$ 进行化简，然后由偶函数的定义进行判断，再利用换元法，令

$t=\cos x$ ，转化为二次函数求解最值即可．
解：因为

$f(x)=\cos x-\cos 2x=\cos x-(2\cos ^{2}x-1)=-2\cos ^{2}x+\cos x+1$ ，
因为

$f(-x)=-2\cos ^{2}(-x)+\cos (-x)+1=-2\cos ^{2}x+\cos x+1=f(x)$ ，
故函数

$f(x)$ 为偶函数，
令

$t=\cos x$ ，则

$t\in [-1$ ，

$1]$ ，
故

$f(t)=-2t^{2}+t+1$ 是开口向下的二次函数，
所以当

$t=-\dfrac{1}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{4}$ 时，

$f(t)$ 取得最大值

$f(\dfrac{1}{4})=-2\times (\dfrac{1}{4})^{2}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{9}{8}$ ，
故函数的最大值为

$\dfrac{9}{8}$ ．
综上所述，函数

$f(x)$ 是偶函数，有最大值

$\dfrac{9}{8}$ ．
故选：

$D$ ．
点评：本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．

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