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2021年高考数学北京6<-->2021年高考数学北京8
7．（4分）已知函数$f(x)=\cos x-\cos 2x$，试判断该函数的奇偶性及最大值( )
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为$\dfrac{9}{8}$ D．偶函数，最大值为$\dfrac{9}{8}$
分析：先利用二倍角公式将函数$f(x)$进行化简，然后由偶函数的定义进行判断，再利用换元法，令$t=\cos x$，转化为二次函数求解最值即可．
解：因为$f(x)=\cos x-\cos 2x=\cos x-(2\cos ^{2}x-1)=-2\cos ^{2}x+\cos x+1$，
因为$f(-x)=-2\cos ^{2}(-x)+\cos (-x)+1=-2\cos ^{2}x+\cos x+1=f(x)$，
故函数$f(x)$为偶函数，
令$t=\cos x$，则$t\in [-1$，$1]$，
故$f(t)=-2t^{2}+t+1$是开口向下的二次函数，
所以当$t=-\dfrac{1}{2\times (-2)}=\dfrac{1}{4}$时，$f(t)$取得最大值$f(\dfrac{1}{4})=-2\times (\dfrac{1}{4})^{2}+\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{9}{8}$，
故函数的最大值为$\dfrac{9}{8}$．
综上所述，函数$f(x)$是偶函数，有最大值$\dfrac{9}{8}$．
故选：$D$．
点评：本题考查了三角函数的性质，二倍角公式的运用，偶函数的定义，二次函数的性质，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于基础题．
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