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2021年高考数学北京14<-->2021年高考数学北京16
15．（5分）已知$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$，给出下列四个结论：
（1）若$k=0$，则$f(x)$有两个零点；
（2）$\exists k<0$，使得$f(x)$有一个零点；
（3）$\exists k<0$，使得$f(x)$有三个零点；
（4）$\exists k>0$，使得$f(x)$有三个零点．
以上正确结论的序号是____．
分析：函数$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$的零点的个数可转化为函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的交点的个数；从而作图，结合图象依次判断即可．
解：函数$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$的零点的个数可转化为函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的交点的个数；
作函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的图象如右图，
若$k=0$，则函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的图象在$(0,1)$与$(1,+\infty )$上各有一个交点，如直线$l_{1}$，则$f(x)$有两个零点，故（1）正确；
若$k<0$，则当函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的图象相切时，$f(x)$有一个零点，如直线$l_{2}$，故（2）正确；
当$k<0$时，函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当$k>0$且$k$足够小时，函数$y=\vert lgx\vert$与直线$y=kx+2$的图象在$(0,1)$与$(1,+\infty )$上分别有1个、2个交点，如直线$l_{3}$，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．
点评：本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，考查了转化、数形结合等思想方法的应用，属于中档题．
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