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2021年高考数学北京15

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15．（5分）已知

$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$ ，给出下列四个结论：
（1）若

$k=0$ ，则

$f(x)$ 有两个零点；
（2）

$\exists k<0$ ，使得

$f(x)$ 有一个零点；
（3）

$\exists k<0$ ，使得

$f(x)$ 有三个零点；
（4）

$\exists k>0$ ，使得

$f(x)$ 有三个零点．
以上正确结论的序号是____．
分析：函数

$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$ 的零点的个数可转化为函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的交点的个数；从而作图，结合图象依次判断即可．
解：函数

$f(x)=\vert lgx\vert -kx-2$ 的零点的个数可转化为函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的交点的个数；
作函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的图象如右图，

若

$k=0$ ，则函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的图象在

$(0,1)$ 与

$(1,+\infty )$ 上各有一个交点，如直线

$l_{1}$ ，则

$f(x)$ 有两个零点，故（1）正确；
若

$k<0$ ，则当函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的图象相切时，

$f(x)$ 有一个零点，如直线

$l_{2}$ ，故（2）正确；
当

$k<0$ 时，函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的图象至多有两个交点，故（3）不正确；
当

$k>0$ 且

$k$ 足够小时，函数

$y=\vert lgx\vert$ 与直线

$y=kx+2$ 的图象在

$(0,1)$ 与

$(1,+\infty )$ 上分别有1个、2个交点，如直线

$l_{3}$ ，故（4）正确；
故答案为：（1）（2）（4）．

点评：本题考查了命题真假性的判断，同时考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，考查了转化、数形结合等思想方法的应用，属于中档题．

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