2024年新高考2

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2024年高考数学新高考Ⅱ-1（5分）已知

$z=-1-i$ ，则

$\vert z\vert =$ (　　)
A．0 B．1 C．

$\sqrt{2}$ D．2【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-2（5分）已知命题

$p:\forall x\in R$ ，

$\vert x+1\vert > 1$ ，命题

$q:\exists x > 0$ ，

$x^{3}=x$ ，则(　　)
A．

$p$ 和

$q$ 都是真命题 B．

$\lnot p$ 和

$q$ 都是真命题
C．

$p$ 和

$\lnot q$ 都是真命题 D．

$\lnot p$ 和

$\lnot q$ 都是真命题【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-3（5分）已知向量

$\overrightarrow{a}$ ，

$\overrightarrow{b}$ 满足：

$\vert \overrightarrow{a}\vert =1$ ，

$\vert \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\vert =2$ ，且

$(\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a})\bot \overrightarrow{b}$ ，则

$\vert \overrightarrow{b}\vert =$ (　　)
A．

$\dfrac{1}{2}$ B．

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ C．

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ D．1
【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-4（5分）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：

$kg)$ 并部分整理下表：

亩产量	$[900，950)$	$[950，1000)$	$[1000，1050)$	$[1100，1150)$	$[1150，200)$
生产数	6	12	18	24	10

据表中数据，结论中正确的是(　　)
A．100块稻田亩产量中位数小于

$1050kg$
B．100块稻田中的亩产量低于

$1100kg$ 的稻田所占比例超过

$80%$
C．100块稻田亩产量的极差介于

$200kg$ 至

$300kg$ 之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于

$900kg$ 至

$1000kg$ 之间【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-5（5分）已知曲线

$C:x^{2}+y^{2}=16(y > 0)$ ，从

$C$ 上任意一点

$P$ 向

$x$ 轴作垂线

$PP'$ ，

$P'$ 为垂足，则线段

$PP'$ 的中点

$M$ 的轨迹方程为(　　)
A．

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{4}=1(y > 0)$ B．

$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1(y > 0)$
C．

$\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{4}=1(y > 0)$ D．

$\dfrac{y^2}{16}+\dfrac{x^2}{8}=1(y > 0)$ 【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-6（5分）设函数

$f(x)=a(x+1)^{2}-1$ ，

$g(x)=\cos x+2ax(a$ 为常数），当

$x\in (-1,1)$ 时，曲线

$y=f(x)$ 与

$y=g(x)$ 恰有一个交点，则

$a=($ 　　

$)$
A．

$-1$ B．

$\dfrac{1}{2}$ C．1 D．2
【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-7（5分）已知正三棱台

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为

$\dfrac{52}{3}$ ，

$AB=6$ ，

$A_{1}B_{1}=2$ ，则

$A_{1}A$ 与平面

$ABC$ 所成角的正切值为

$($ 　　

$)$
A．

$\dfrac{1}{2}$ B．1 C．2 D．3【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-8（5分）设函数

$f(x)=(x+a)\ln (x+b)$ ，若

$f(x)\geqslant 0$ ，则

$a^{2}+b^{2}$ 的最小值为(　　)
A．

$\dfrac{1}{8}$ B．

$\dfrac{1}{4}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．1【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-9（6分）对于函数

$f(x)=\sin 2x$ 和

$g(x)=\sin (2x-\dfrac{\pi }{4})$ ，下列正确的有(　　)
A．

$f(x)$ 与

$g(x)$ 有相同零点
B．

$f(x)$ 与

$g(x)$ 有相同最大值
C．

$f(x)$ 与

$g(x)$ 有相同的最小正周期
D．

$f(x)$ 与

$g(x)$ 的图像有相同的对称轴【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-10（6分）抛物线

$C:y^{2}=4x$ 的准线为

$l$ ，

$P$ 为

$C$ 上的动点，对

$P$ 作

$\odot A:x^{2}+(y-4)^{2}=1$ 的一条切线，

$Q$ 为切点，对

$P$ 作

$l$ 的垂线，垂足为

$B$ ，则(　　)
A．

$l$ 与

$\odot A$ 相切
B．当

$P$ ，

$A$ ，

$B$ 三点共线时，

$\vert PQ\vert =\sqrt{15}$
C．当

$\vert PB\vert =2$ 时，

$PA\bot AB$
D．满足

$\vert PA\vert =\vert PB\vert$ 的点

$P$ 有且仅有2个【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-11（6分）设函数

$f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+1$ ，则(　　)
A．当

$a > 1$ 时，

$f(x)$ 有三个零点
B．当

$a < 0$ 时，

$x=0$ 是

$f(x)$ 的极大值点
C．存在

$a$ ，

$b$ ，使得

$x=b$ 为曲线

$y=f(x)$ 的对称轴
D．存在

$a$ ，使得点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 为曲线

$y=f(x)$ 的对称中心【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-12（5分）记

$S_{n}$ 为等差数列

$\{a_{n}\}$ 的前

$n$ 项和，若

$a_{3}+a_{4}=7$ ，

$3a_{2}+a_{5}=5$ ，则

$S_{10}=$ ____．【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-13（5分）已知

$\alpha$ 为第一象限角，

$\beta$ 为第三象限角，

$\tan \alpha +\tan \beta =4$ ，

$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$ ，则

$\sin (\alpha +\beta )=$ ____．【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-14（5分）在如图的

$4\times 4$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有____种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格的4个数之和的最大值是____．

【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-15（13分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$ ．
（1）求

$A$ ；
（2）若

$a=2$ ，

$\sqrt{2}b\sin C=c\sin 2B$ ，求

$\Delta ABC$ 周长．【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-16（15分）已知函数

$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$ ．
（1）当

$a=1$ 时，求曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程；
（2）若

$f(x)$ 有极小值，且极小值小于0，求

$a$ 的取值范围．【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-17（15分）如图，平面四边形

$ABCD$ 中，

$AB=8$ ，

$CD=3$ ，

$AD=5\sqrt{3}$ ，

$\angle ADC=90^\circ$ ，

$\angle BAD=30^\circ$ ，点

$E$ ，

$F$ 满足

$\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AD}$ ，

$\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ，将

$\Delta AEF$ 沿

$EF$ 对折至

$\Delta PEF$ ，使得

$PC=4\sqrt{3}$ ．
（1）证明：

$EF\bot PD$ ；
（2）求面

$PCD$ 与面

$PBF$ 所成的二面角的正弦值．

【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-18（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为

$p$ ，乙每次投中的概率为

$q$ ，各次投中与否相互独立．
（1）若

$p=0.4$ ，

$q=0.5$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
（2）假设

$0 < p < q$ ，

$(i)$ 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？

$(ii)$ 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案详解】

2024年高考数学新高考Ⅱ-19（17分）已知双曲线

$C:x^{2}-y^{2}=m(m > 0)$ ，点

$P_{1}(5,4)$ 在

$C$ 上，

$k$ 为常数，

$0 < k < 1$ ，按照如下方式依次构造点

$P_{n}(n=2$ ，3，

$\dotsb )$ ，过

$P_{n-1}$ 斜率为

$k$ 的直线与

$C$ 的左支交于点

$Q_{n-1}$ ，令

$P_{n}$ 为

$Q_{n-1}$ 关于

$y$ 轴的对称点，记

$P_{n}$ 的坐标为

$(x_{n}$ ，

$y_{n})$ ．
（1）若

$k=\dfrac{1}{2}$ ，求

$x_{2}$ ，

$y_{2}$ ；
（2）证明：数列

$\{x_{n}-y_{n}\}$ 是公比为

$\dfrac{1+k}{1-k}$ 的等比数列；
（3）设

$S_{n}$ 为△

$P_{n}P_{n+1}P_{n+2}$ 的面积，证明：对任意的正整数

$n$ ，

$S_{n}=S_{n+1}$ ．【答案详解】

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