2024年高考数学新高考Ⅱ-16（15分）已知函数$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$．
（1）当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程；
（2）若$f(x)$有极小值，且极小值小于0，求$a$的取值范围．【答案详解】 |
2024年高考数学新高考Ⅱ-17（15分）如图，平面四边形$ABCD$中，$AB=8$，$CD=3$，$AD=5\sqrt{3}$，$\angle ADC=90^\circ$，$\angle BAD=30^\circ$，点$E$，$F$满足$\overrightarrow{AE}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，将$\Delta AEF$沿$EF$对折至$\Delta PEF$，使得$PC=4\sqrt{3}$．
（1）证明：$EF\bot PD$；
（2）求面$PCD$与面$PBF$所成的二面角的正弦值．
 【答案详解】 |
2024年高考数学新高考Ⅱ-18（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为$p$，乙每次投中的概率为$q$，各次投中与否相互独立．
（1）若$p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
（2）假设$0 < p < q$，
$(i)$为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
$(ii)$为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？【答案详解】 |
2024年高考数学新高考Ⅱ-19（17分）已知双曲线$C:x^{2}-y^{2}=m(m > 0)$，点$P_{1}(5,4)$在$C$上，$k$为常数，$0 < k < 1$，按照如下方式依次构造点$P_{n}(n=2$，3，$\dotsb )$，过$P_{n-1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n-1}$，令$P_{n}$为$Q_{n-1}$关于$y$轴的对称点，记$P_{n}$的坐标为$(x_{n}$，$y_{n})$．
（1）若$k=\dfrac{1}{2}$，求$x_{2}$，$y_{2}$；
（2）证明：数列$\{x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\dfrac{1+k}{1-k}$的等比数列；
（3）设$S_{n}$为△$P_{n}P_{n+1}P_{n+2}$的面积，证明：对任意的正整数$n$，$S_{n}=S_{n+1}$．【答案详解】 |
