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2024年高考数学新高考Ⅱ-5<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-7
（5分）设函数$f(x)=a(x+1)^{2}-1$，$g(x)=\cos x+2ax(a$为常数），当$x\in (-1,1)$时，曲线$y=f(x)$与$y=g(x)$恰有一个交点，则$a=($ $)$
A．$-1$ B．$\dfrac{1}{2}$ C．1 D．2
答案：$D$
分析：由$f(x)=g(x)$得，$a=\dfrac{1+\cos x}{1+{x}^{2}}$，等式右边是偶函数，所求问题等价于直线$y=a$与函数$h(x)$在$x=0$处相切，代入$x=0$即可求解．
解：因为函数$f(x)=a(x+1)^{2}-1$，$g(x)=\cos x+2ax$，
所以由$f(x)=g(x)$得，$a=\dfrac{1+\cos x}{1+{x}^{2}}$，
设$h(x)=\dfrac{1+\cos x}{1+{x}^{2}}$，则$h(x)$是偶函数，
$x\in (-1,1)$时，曲线$y=f(x)$与$y=g(x)$恰有一个交点等价于直线$y=a$与函数$h(x)$在$x=0$处相切，
代入$x=0$得$a=2$．
故选：$D$．
点评：本题考查函数的性质，属于中档题．
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