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2024年高考数学新高考Ⅱ-5<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-7
（5分）设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数），当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )
A．−1 B．12 C．1 D．2
答案：D
分析：由f(x)=g(x)得，a=1+cosx1+x2，等式右边是偶函数，所求问题等价于直线y=a与函数h(x)在x=0处相切，代入x=0即可求解．
解：因为函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax，
所以由f(x)=g(x)得，a=1+cosx1+x2，
设h(x)=1+cosx1+x2，则h(x)是偶函数，
x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点等价于直线y=a与函数h(x)在x=0处相切，
代入x=0得a=2．
故选：D．
点评：本题考查函数的性质，属于中档题．
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