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2024年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-19
（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
（1）若p=0.4，q=0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
（2）假设0<p<q，
(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
分析：（1）由题意得甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：P=[1−(1−p)3]q3，若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：P=[1−(1−q)3]⋅p3，作差法求出P>P，从而得到为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
(ii)若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，分别求出相应的概率．进而求出E(X)，记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可难取值为0，5，10，15，求出E(Y)=15(q3−3q2+3q)p，坐差法求出E(X)−E(Y)>0，从而得到为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
解：（1）∵甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
∴甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
∴甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：
P=(1−0.63) (1−0.53)=0.686．
（2）(i)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：
P=[1−(1−p)3]q3，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：
P=[1−(1−q)3]⋅p3，
∴P−P=q3−(q−pq)3−p3+(p−pq)3
=(q−p)(q2+pq+p2)+(p−q)[(p−pq)2+(q−pq)2+(p−pq)(q−pq)]
=(p−q)(3p2q2−3p2q−3pq2)
=3pq(p−q)(pq−p−q)
=3pq(p−q)[(1−p)(1−q)−1]>0，
∴P>P，
∴为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
(ii)若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩X的所有可能取值为0，5，10，15，
P(X=0)=(1−p)3+[1−(1−p)3]⋅(1−q)3，
P(X=5)=[1−(1−p)3]C13q(1−q)2，
P(X=10)=[1−(1−p)3]C23q(1−q)2，
P(X=15)=[1−(1−p)3]⋅q3，
∴E(X)=15[1−(1−p)3]q=15(p3−3p2+3p)q，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩Y的所有可难取值为0，5，10，15，
同理E(Y)=15(q3−3q2+3q)p，
∴E(X)−E(Y)=15[pq(p+q)(p−q)−3pq(p−q)
=15(p−q)pq(p+q−3)>0，
∴为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
点评：本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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