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2024年高考数学新高考Ⅱ-17<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-19
（17分）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛都由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分，若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为$p$，乙每次投中的概率为$q$，各次投中与否相互独立．
（1）若$p=0.4$，$q=0.5$，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率；
（2）假设$0 < p < q$，
$(i)$为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，则该由谁参加第一阶段比赛？
$(ii)$为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
分析：（1）由题意得甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
（2）$(i)$若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：${{P}_{}}=[1-\left( 1-p{{)}^{3}} \right]{{q}^{3}}$，若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：${{P}_{}}=[1-\left( 1-q{{)}^{3}} \right]\cdot {{p}^{3}}$，作差法求出${{P}_{}} > {{P}_{}}$，从而得到为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
$(ii)$若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩$X$的所有可能取值为0，5，10，15，分别求出相应的概率．进而求出$E(X)$，记乙参加第一阶段比赛，数学成绩$Y$的所有可难取值为0，5，10，15，求出$E(Y)=15(q^{3}-3q^{2}+3q)p$，坐差法求出$E(X)-E(Y) > 0$，从而得到为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
解：（1）$\because$甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，
$\therefore$甲第一阶段至少投中一次，乙第二阶段至少投中一次，
$\therefore$甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为：
$P=(1-0.6^{3})$ $(1-0.5^{3})=0.686$．
（2）$(i)$若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在人的比赛成绩为15分的概率为：
${{P}_{}}=[1-\left( 1-p{{)}^{3}} \right]{{q}^{3}}$，
若乙参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为：
${{P}_{}}=[1-\left( 1-q{{)}^{3}} \right]\cdot {{p}^{3}}$，
$\therefore {{P}_{}}-{{P}_{}}={{q}^{3}}-{{(q-pq)}^{3}}-{{p}^{3}}+{{(p-pq)}^{3}}$
$=(q-p)(q^{2}+pq+p^{2})+(p-q)[(p-pq)^{2}+(q-pq)^{2}+(p-pq)(q-pq)]$
$=(p-q)(3p^{2}q^{2}-3p^{2}q-3pq^{2})$
$=3pq(p-q)(pq-p-q)$
$=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1] > 0$，
$\therefore {{P}_{}} > {{P}_{}}$，
$\therefore$为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，该由甲参加第一阶段的比赛．
$(ii)$若甲先参加第一阶段的比赛，数学成绩$X$的所有可能取值为0，5，10，15，
$P(X=0)=(1-p)^{3}+[1-(1-p)^{3}]\cdot (1-q)^{3}$，
$P(X=5)=[1-(1-p)^{3}]{C}_{3}^{1}q(1-q)^{2}$，
$P(X=10)=[1-(1-p)^{3}]{C}_{3}^{2}q(1-q)^{2}$，
$P(X=15)=[1-(1-p)^{3}]\cdot q^{3}$，
$\therefore E(X)=15[1-(1-p)^{3}]q=15(p^{3}-3p^{2}+3p)q$，
记乙参加第一阶段比赛，数学成绩$Y$的所有可难取值为0，5，10，15，
同理$E(Y)=15(q^{3}-3q^{2}+3q)p$，
$\therefore E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)$
$=15(p-q)pq(p+q-3) > 0$，
$\therefore$为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数与期望最大，应该由甲参加第一阶段比赛．
点评：本题考查相互独立事件概率乘法公式、离散型随机变量的数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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