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2024年高考数学新高考Ⅱ-10<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-12
（6分）设函数$f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+1$，则( )
A．当$a > 1$时，$f(x)$有三个零点
B．当$a < 0$时，$x=0$是$f(x)$的极大值点
C．存在$a$，$b$，使得$x=b$为曲线$y=f(x)$的对称轴
D．存在$a$，使得点$(1$，$f$（1）$)$为曲线$y=f(x)$的对称中心
答案：AD
分析：先对$f(x)$求导，根据$a$的范围可判断$f(x)$的单调性，进而确定极值或极值点，可判断$A$、$B$；
三次函数不存在对称轴，可判断$C$；
$a=2$时，$f(x)=2(x-1)^{3}-6(x-1)-3$，关于点$(1,-3)$中心对称，可判断$D$．
解：由$f(x)=2x^{3}-3ax^{2}+1$，得$f'(x)=6x(x-a)$，
对于$A$，当$a > 1$时，$f(x)$在$(0,a)$上单调递减，在$(-\infty ,0)$和$(a,+\infty )$上单调递增；
$f(x)$的极大值$f(0)=1 > 0$，$f(x)$的极小值$f$（a）$=1-a^{3} < 0$，所以$f(x)$有三个零点，故$A$正确；
对于$B$，当$a < 0$时，$f(x)$在$(a,0)$上单调递减，在$(-\infty ,a)$和$(0,+\infty )$上单调递增，$x=0$是极小值点，故$B$错误；
对于$C$，任何三次函数不存在对称轴，故$C$错误；
对于$D$，当$a=2$时，$f(x)=2x^{3}-6x^{2}+1=2(x-1)^{3}-6(x-1)-3$，关于点$(1,-3)$中心对称，故$D$正确．
故选：AD．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的性质，属于中档题．
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