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2024年高考数学新高考Ⅱ-10<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-12
（6分）设函数f(x)=2x3−3ax2+1，则( )
A．当a>1时，f(x)有三个零点
B．当a<0时，x=0是f(x)的极大值点
C．存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D．存在a，使得点(1，f（1）)为曲线y=f(x)的对称中心
答案：AD
分析：先对f(x)求导，根据a的范围可判断f(x)的单调性，进而确定极值或极值点，可判断A、B；
三次函数不存在对称轴，可判断C；
a=2时，f(x)=2(x−1)3−6(x−1)−3，关于点(1,−3)中心对称，可判断D．
解：由f(x)=2x3−3ax2+1，得f′(x)=6x(x−a)，
对于A，当a>1时，f(x)在(0,a)上单调递减，在(−∞,0)和(a,+∞)上单调递增；
f(x)的极大值f(0)=1>0，f(x)的极小值f（a）=1−a3<0，所以f(x)有三个零点，故A正确；
对于B，当a<0时，f(x)在(a,0)上单调递减，在(−∞,a)和(0,+∞)上单调递增，x=0是极小值点，故B错误；
对于C，任何三次函数不存在对称轴，故C错误；
对于D，当a=2时，f(x)=2x3−6x2+1=2(x−1)3−6(x−1)−3，关于点(1,−3)中心对称，故D正确．
故选：AD．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查函数的性质，属于中档题．
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