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2024年高考数学新高考Ⅱ-9<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-11
（6分）抛物线C:y2=4x的准线为l，P为C上的动点，对P作⊙A:x2+(y−4)2=1的一条切线，Q为切点，对P作l的垂线，垂足为B，则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|=√15
C．当|PB|=2时，PA⊥AB
D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个
答案：ABD
分析：选项A中，抛物线的准线为x=−1，判断是圆A的一条切线；
选项B中，当P、A、B三点共线时，求出点P，计算PQ即可；
选项C中，当PB=2时，PA与AB并不垂直；
选项D中，由PB=PF得出P在AF的中垂线上，判断该直线与抛物线有两交点．
解：对于A，抛物线y2=4x的准线为x=−1，是x2+(y−4)2=1的一条切线，选项A正确；
对于B，⊙A的圆心为A(0,4)，当P、A、B三点共线时，P(4,4)，所以PQ=√PA2−r2=√42−12=√15，选项B正确；
对于C，当PB=2时，P(1,2)，B(−1,2)，PA与AB并不垂直，选项C错误；
对于D，焦点F(1,0)，PB=PF，则PA=PB等价于P在AF的中垂线上，该直线的方程为y=14x+158，它与抛物线有两交点，选项D正确．
故选：ABD．
点评：本题考查了直线与抛物线方程应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
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