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2024年高考数学新高考Ⅱ-16

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（15分）已知函数

$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$ ．
（1）当

$a=1$ 时，求曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程；
（2）若

$f(x)$ 有极小值，且极小值小于0，求

$a$ 的取值范围．
分析：（1）当

$a=1$ 时，

$f(x)=e^{x}-x-1$ ，

$f\prime (x)=e^{x}-1$ ，利用导数的几何意义能求出曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程．
（2）

$f\prime (x)=e^{x}-a$ ，当

$a\leqslant 0$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增，此时函数

$f(x)$ 无极值，从而

$a > 0$ ，令

$f\prime (x)=e^{x}-a=0$ ，得

$x=\ln a$ ，求出函数

$f(x)$ 的增区间为

$(\ln a,+\infty )$ ，减区间为

$(-\infty ,\ln a)$ ，从而

$f{{(x)}_{}}=f\left( \ln a \right)=a-a\ln a-{{a}^{3}} < 0$ ，进而

$1-\ln a-a^{2} < 0$ ，令

$g$ （a）

$=-a^{2}-\ln a+1$ ，

${g}'(a)=-2a\cdot \frac{1}{a} < 0$ ，利用导数性质能求出

$a$ 的取值范围．
解：（1）

$\because$ 函数

$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$ ，

$\therefore$ 当

$a=1$ 时，

$f(x)=e^{x}-x-1$ ，

$f\prime (x)=e^{x}-1$ ，

$\therefore f$ （1）

$=e-2$ ，

$\therefore$ 切点坐标为

$(1,e-2)$ ，
切线的斜率为

$k=f\prime$ （1）

$=e-1$ ，

$\therefore$ 曲线

$y=f(x)$ 在点

$(1$ ，

$f$ （1）

$)$ 处的切线方程为：

$y-(e-2)=(e-1)(x-1)$ ，整理得：

$y=(e-1)x-1$ ．
（2）

$\because$ 函数

$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$ ，

$\therefore f\prime (x)=e^{x}-a$ ，
当

$a\leqslant 0$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，函数

$f(x)$ 在

$R$ 上单调递增，此时函数

$f(x)$ 无极值，

$\therefore a > 0$ ，
令

$f\prime (x)=e^{x}-a=0$ ，得

$x=\ln a$ ，
当

$x < \ln a$ 时，

$f\prime (x) < 0$ ，当

$x > \ln a$ 时，

$f\prime (x) > 0$ ，

$\therefore$ 函数

$f(x)$ 的增区间为

$(\ln a,+\infty )$ ，减区间为

$(-\infty ,\ln a)$ ，

$\therefore f{{(x)}_{}}=f\left( \ln a \right)=a-a\ln a-{{a}^{3}} < 0$ ，

$\therefore 1-\ln a-a^{2} < 0$ ，
令

$g$ （a）

$=-a^{2}-\ln a+1$ ，

${g}'(a)=-2a-\frac{1}{a} < 0$ ，

$g$ （a）在

$(0,+\infty )$ 上单调递减，

$\because g$ （1）

$=0$ ，

$\therefore g$ （a）

$< 0$ 等价于

$a > 1$ ，

$\therefore a$ 的取值范围是

$(1,+\infty )$ ．
点评：本题考查导数的几何意义、函数的单调性、切线方程、极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

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