|
2024年高考数学新高考Ⅱ-15<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-17
（15分）已知函数$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$．
（1）当$a=1$时，求曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程；
（2）若$f(x)$有极小值，且极小值小于0，求$a$的取值范围．
分析：（1）当$a=1$时，$f(x)=e^{x}-x-1$，$f\prime (x)=e^{x}-1$，利用导数的几何意义能求出曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程．
（2）$f\prime (x)=e^{x}-a$，当$a\leqslant 0$时，$f\prime (x) > 0$，函数$f(x)$在$R$上单调递增，此时函数$f(x)$无极值，从而$a > 0$，令$f\prime (x)=e^{x}-a=0$，得$x=\ln a$，求出函数$f(x)$的增区间为$(\ln a,+\infty )$，减区间为$(-\infty ,\ln a)$，从而$f{{(x)}_{}}=f\left( \ln a \right)=a-a\ln a-{{a}^{3}} < 0$，进而$1-\ln a-a^{2} < 0$，令$g$（a）$=-a^{2}-\ln a+1$，${g}'(a)=-2a\cdot \frac{1}{a} < 0$，利用导数性质能求出$a$的取值范围．
解：（1）$\because$函数$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$，
$\therefore$当$a=1$时，$f(x)=e^{x}-x-1$，$f\prime (x)=e^{x}-1$，
$\therefore f$（1）$=e-2$，$\therefore$切点坐标为$(1,e-2)$，
切线的斜率为$k=f\prime$（1）$=e-1$，
$\therefore$曲线$y=f(x)$在点$(1$，$f$（1）$)$处的切线方程为：
$y-(e-2)=(e-1)(x-1)$，整理得：$y=(e-1)x-1$．
（2）$\because$函数$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$，$\therefore f\prime (x)=e^{x}-a$，
当$a\leqslant 0$时，$f\prime (x) > 0$，函数$f(x)$在$R$上单调递增，此时函数$f(x)$无极值，
$\therefore a > 0$，
令$f\prime (x)=e^{x}-a=0$，得$x=\ln a$，
当$x < \ln a$时，$f\prime (x) < 0$，当$x > \ln a$时，$f\prime (x) > 0$，
$\therefore$函数$f(x)$的增区间为$(\ln a,+\infty )$，减区间为$(-\infty ,\ln a)$，
$\therefore f{{(x)}_{}}=f\left( \ln a \right)=a-a\ln a-{{a}^{3}} < 0$，
$\therefore 1-\ln a-a^{2} < 0$，
令$g$（a）$=-a^{2}-\ln a+1$，${g}'(a)=-2a-\frac{1}{a} < 0$，
$g$（a）在$(0,+\infty )$上单调递减，
$\because g$（1）$=0$，$\therefore g$（a）$ < 0$等价于$a > 1$，
$\therefore a$的取值范围是$(1,+\infty )$．
点评：本题考查导数的几何意义、函数的单调性、切线方程、极值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2024年高考数学新高考Ⅱ-15<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-17
全网搜索"2024年高考数学新高考Ⅱ-16"相关
|
