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2024年高考数学新高考Ⅱ-18<-->返回列表
（17分）已知双曲线$C:x^{2}-y^{2}=m(m > 0)$，点$P_{1}(5,4)$在$C$上，$k$为常数，$0 < k < 1$，按照如下方式依次构造点$P_{n}(n=2$，3，$\dotsb )$，过$P_{n-1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n-1}$，令$P_{n}$为$Q_{n-1}$关于$y$轴的对称点，记$P_{n}$的坐标为$(x_{n}$，$y_{n})$．
（1）若$k=\dfrac{1}{2}$，求$x_{2}$，$y_{2}$；
（2）证明：数列$\{x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\dfrac{1+k}{1-k}$的等比数列；
（3）设$S_{n}$为△$P_{n}P_{n+1}P_{n+2}$的面积，证明：对任意的正整数$n$，$S_{n}=S_{n+1}$．
分析：（1）根据已知条件，先求出直线方程，再与曲线方程联立，即可求解；
（2）根据已知条件，推得$\dfrac{y_n-y_{n-1}}{-x_n-x_{n-1}}=k$，再结合$P_{n-1}$，$Q_{n-1}$都在双曲线上，以及等比数列的定义，即可求证；
（3）要证：$S_{n}=S_{n+1}$，只需先尝试$P_{n+1}P_{n+2}//P_{n}P_{n+3}$，即先证${k}_{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}={k}_{{P}_{n}{P}_{n+3}}$，再结合换元法，以及直线的斜率公式，即可求解．
解：（1）$\because P_{1}(5,4)$在$C$上，
$\therefore 25-16=m$，解得$m=9$，
过$P(5,4)$且斜率为$k=\dfrac{1}{2}$的直线方程为$y-4=\dfrac{1}{2}(x-5)$，即$x-2y+3=0$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-{y}^{2}=9}\\ {x-2y+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\ {y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\ {y=0}\end{array}\right.$，
故$Q_{1}(-3,0)$，$P_{2}(3,0)$，
过$P_{n-1}$斜率为$k$的直线与$C$的左支交于点$Q_{n-1}$，令$P_{n}$为$Q_{n-1}$关于$y$轴的对称点，
所以$x_{2}=3$，$y_{2}=0$；
（2）证明：$\because P_{n}(x_{n}$，$y_{n})$关于$y$轴的对称点是$Q_{n-1}(-x_{n}$，$y_{n})$，
$P_{n-1}(x_{n-1}$，$y_{n-1})$，$P_{n-1}$，$Q_{n-1}$都在同一条斜率为$k$的直线上，$x_{n-1}\ne -x_{n}$；
则$\dfrac{y_n-y_{n-1}}{-x_n-x_{n-1}}=k$，
$\because P_{n-1}$，$Q_{n-1}$都在双曲线上，
$\therefore$$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{n}^{2}-{y}_{n}^{2}=9}\\ {{x}_{n-1}^{2}-{y}_{n-1}^{2}=9}\end{array}\right.$，两式相减可得，$(x_{n}-x_{n-1})(x_{n}+x_{n-1})=(y_{n}-y_{n-1})(y_{n}+y_{n-1})$，
而$y_{n}-y_{n-1}=-k(x_{n}+x_{n-1})$①，$x_{n}-x_{n-1}=-k(y_{n}+y_{n-1})$②，
则②$-$①可得，$x_{n}-y_{n}-(x_{n-1}-y_{n-1})=k(x_{n}-y_{n})+k(x_{n-1}-y_{n-1})$，
则$(1-k)(x_{n}-y_{n})=(1+k)(x_{n-1}-y_{n-1})$，
$\therefore$$\dfrac{x_n-y_n}{x_{n-1}-y_{n-1}}=\dfrac{1+k}{1-k}$，
故数列$\{x_{n}-y_{n}\}$是公比为$\dfrac{1+k}{1-k}$的等比数列；
（3）证明：要证：$S_{n}=S_{n+1}$，只需先尝试$P_{n+1}P_{n+2}//P_{n}P_{n+3}$，
即先证${k}_{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}={k}_{{P}_{n}{P}_{n+3}}$，
记$t=\dfrac{1+k}{1-k}$，
$0 < k < 1$，
则$t > 1$，
$x_n-y_n=(x_1-y_1)(\dfrac{1+k}{1-k})^{n-1}=t^{n-1}$，
而$x_n^2-y_n^2=9$，
$\therefore$$x_n+y_n=9t^{1-n}$，
$\therefore$$y_{n}=\dfrac{1}{2}(-t^{n-1}+9t^{1-n})$，
$\therefore$${k}_{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}$
$=\dfrac{x_{n+2}-x_{n+1}}{y_{n+2}-y_{n+1}}$
$=\dfrac{y_{n+2}+t^{n+1}-y_{n+1}-t^{n}}{y_{n+2}-y_{n+1}}$
$=1+\dfrac{2t^{n}(t-1)}{(-t^{n+1}9t^{-1-n})-(-t^{n}+9t^{-n})}$
$=1+\dfrac{2t^{n}(t-1)}{(-9t^{-1-n}-t^{n})(t-1)}$
$=1-\dfrac{2t^{n}}{9t^{-1-n}+t^{n}}$，
${k}_{{P}_{n}{P}_{n+3}}$
$=\dfrac{y_{n+3}+t^{n+2}-y_{n}-t^{n-1}}{y_{n+3}-y_{n}}$
$=1+\dfrac{2t^{n-1}(t^{3}-1)}{(-t^{n+2}+9t^{-2-n})-(-t^{n-1}+9t^{1-n})}$
$=1+\dfrac{2t^{n-1}(t^{3}-1)}{(-9t^{-2-n}-t^{n-1})(t^{3}-1)}$
$=1-\dfrac{2t^{n-1}}{9t^{-2-n}+t^{n-1}}$
$=1-\dfrac{2t^{n}}{9t^{-1-n}+t^{n}}$，
$\therefore$${k}_{{P}_{n+1}{P}_{n+2}}={k}_{{P}_{n}{P}_{n+3}}$，
$\therefore P_{n+1}P_{n+2}//P_{n}P_{n+3}$，
$\therefore S_{n}=S_{n+1}$．
点评：本题主要考查数列的应用，考查转化能力，属于难题．
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