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2024年高考数学新高考Ⅱ-15

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（13分）记

$\Delta ABC$ 的内角

$A$ ，

$B$ ，

$C$ 的对边分别为

$a$ ，

$b$ ，

$c$ ，已知

$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$ ．
（1）求

$A$ ；
（2）若

$a=2$ ，

$\sqrt{2}b\sin C=c\sin 2B$ ，求

$\Delta ABC$ 周长．
分析：（1）由辅助角公式及角

$A$ 的范围，可得角

$A$ 的大小；
（2）由正弦定理可得

$\cos B$ 的值，再由角

$B$ 的范围，可得角

$B$ 的大小，进而可得角

$C$ 的大小，再由正弦定理可得

$b$ ，

$c$ 的值，进而求出

$\Delta ABC$ 的周长．
解：（1）因为

$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$ ，
所以

$2\sin (A+\dfrac{\pi }{3})=2$ ，即

$\sin (A+\dfrac{\pi }{3})=1$ ，
由

$A$ 为三角形内角得

$A+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}$ ，
即

$A=\dfrac{\pi }{6}$ ；
（2）因为

$\sqrt{2}b\sin c=c\sin 2B$ ，

$\sqrt{2}b\sin C=2c\sin B\cos B$ ，由正弦定理可得：

$\sqrt{2}bc=2bc\cos B$ ，
可得

$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，
又因为

$B\in (0,\pi )$ ，所以

$B=\dfrac{\pi }{4}$ ，

$C=\pi -A-B=\dfrac{7}{12}\pi$ ，
在

$\Delta ABC$ 中，由正弦定理得

$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4$ ，
所以

$b=4\sin B=2\sqrt{2}$ ，

$c=4\sin C=4\sin \dfrac{7\pi }{12}=4\sin (\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{3})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ ，
所以

$\Delta ABC$ 的周长为

$a+b+c=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ．
综上，

$\Delta ABC$ 的周长为

$2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$ ．
点评：本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．

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