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2024年高考数学新高考Ⅱ-14<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-16
（13分）记$\Delta ABC$的内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$．
（1）求$A$；
（2）若$a=2$，$\sqrt{2}b\sin C=c\sin 2B$，求$\Delta ABC$周长．
分析：（1）由辅助角公式及角$A$的范围，可得角$A$的大小；
（2）由正弦定理可得$\cos B$的值，再由角$B$的范围，可得角$B$的大小，进而可得角$C$的大小，再由正弦定理可得$b$，$c$的值，进而求出$\Delta ABC$的周长．
解：（1）因为$\sin A+\sqrt{3}\cos A=2$，
所以$2\sin (A+\dfrac{\pi }{3})=2$，即$\sin (A+\dfrac{\pi }{3})=1$，
由$A$为三角形内角得$A+\dfrac{\pi }{3}=\dfrac{\pi }{2}$，
即$A=\dfrac{\pi }{6}$；
（2）因为$\sqrt{2}b\sin c=c\sin 2B$，
$\sqrt{2}b\sin C=2c\sin B\cos B$，由正弦定理可得：$\sqrt{2}bc=2bc\cos B$，
可得$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，
又因为$B\in (0,\pi )$，所以$B=\dfrac{\pi }{4}$，$C=\pi -A-B=\dfrac{7}{12}\pi$，
在$\Delta ABC$中，由正弦定理得$\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}}=4$，
所以$b=4\sin B=2\sqrt{2}$，$c=4\sin C=4\sin \dfrac{7\pi }{12}=4\sin (\dfrac{\pi }{4}+\dfrac{\pi }{3})=\sqrt{6}+\sqrt{2}$，
所以$\Delta ABC$的周长为$a+b+c=2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
综上，$\Delta ABC$的周长为$2+3\sqrt{2}+\sqrt{6}$．
点评：本题考查正弦定理的应用，辅助角公式的应用，属于中档题．
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