2024年高考数学新高考Ⅱ-7

（5分）已知正三棱台

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 的体积为

$\dfrac{52}{3}$ ，

$AB=6$ ，

$A_{1}B_{1}=2$ ，则

$A_{1}A$ 与平面

$ABC$ 所成角的正切值为(　　)
A．

$\dfrac{1}{2}$ B．1 C．2 D．3
答案：

$B$
分析：由正三棱台的体积公式计算出棱台的高

$h$ ，由台体的性质结合线面角的定义求解即可．
解：设棱台的高为

$h$ ，三条侧棱延长后交于一点

$O$ ，
则由

$AB=3A_{1}B_{1}$ 得：

$O$ 到上底面

$A_{1}B_{1}C_{1}$ 的距离为

$\dfrac{1}{2}h$ ，

$O$ 到下底面

$ABC$ 的距离为

$\dfrac{3}{2}h$ ，

又

$S_{\Delta ABC}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 6^{2}=9\sqrt{3}$ ，

${S}_{\triangle {A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\times 2^{2}=\sqrt{3}$ ，
所以

$V=\dfrac{1}{3}(9\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}})h=\dfrac{52}{3}$ ，
解得

$h=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ ，
因为上底中心到顶点

$A$ 的距离为

$\dfrac{2}{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}\times 2=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ ，
所以

$A_{1}A$ 与平面

$ABC$ 所成角的正切值为

$\dfrac{\dfrac{1}{2}h}{\dfrac{2}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}h=1$ ．
故选：

$B$ ．
点评：本题主要考查台体的体积公式，空间中直线与平面所成角的求解，属于中档题．

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