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2024年高考数学新高考Ⅱ-12<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-14
（5分）已知$\alpha$为第一象限角，$\beta$为第三象限角，$\tan \alpha +\tan \beta =4$，$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$，则$\sin (\alpha +\beta )=$____．
分析：由已知结合两角和的正切公式可求$\tan (\alpha +\beta )$，然后结合同角基本关系即可求解．
解：因为$\alpha$为第一象限角，$\beta$为第三象限角，
所以$\pi +2k\pi < \alpha +\beta < 2\pi +2k\pi$，$k\in Z$，
因为$\tan \alpha +\tan \beta =4$，$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$，
所以$\tan (\alpha +\beta )=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\dfrac{4}{1-1-\sqrt{2}}=-2\sqrt{2} < 0$，
所以$\dfrac{3}{2}\pi +2k\pi < \alpha +\beta < 2\pi +2k\pi$，$k\in Z$，
所以$\cos (\alpha +\beta )=\sqrt{\dfrac{1}{1+ta{n}^{2}(\alpha +\beta )}}=\dfrac{1}{3}$
则$\sin (\alpha +\beta )=-\sqrt{1-co{s}^{2}(\alpha +\beta )}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$．
点评：本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
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