2024年高考数学新高考Ⅱ-13

（5分）已知

$\alpha$ 为第一象限角，

$\beta$ 为第三象限角，

$\tan \alpha +\tan \beta =4$ ，

$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$ ，则

$\sin (\alpha +\beta )=$ ____．
分析：由已知结合两角和的正切公式可求

$\tan (\alpha +\beta )$ ，然后结合同角基本关系即可求解．
解：因为

$\alpha$ 为第一象限角，

$\beta$ 为第三象限角，
所以

$\pi +2k\pi < \alpha +\beta < 2\pi +2k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
因为

$\tan \alpha +\tan \beta =4$ ，

$\tan \alpha \tan \beta =\sqrt{2}+1$ ，
所以

$\tan (\alpha +\beta )=\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }=\dfrac{4}{1-1-\sqrt{2}}=-2\sqrt{2} < 0$ ，
所以

$\dfrac{3}{2}\pi +2k\pi < \alpha +\beta < 2\pi +2k\pi$ ，

$k\in Z$ ，
所以

$\cos (\alpha +\beta )=\sqrt{\dfrac{1}{1+ta{n}^{2}(\alpha +\beta )}}=\dfrac{1}{3}$
则

$\sin (\alpha +\beta )=-\sqrt{1-co{s}^{2}(\alpha +\beta )}=-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ．
故答案为：

$-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$ ．
点评：本题主要考查了两角和的正切公式及同角基本关系的应用，属于中档题．

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