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2024年高考数学新高考Ⅱ-7<-->2023年高考数学新高考Ⅱ-9
（5分）设函数$f(x)=(x+a)\ln (x+b)$，若$f(x)\geqslant 0$，则$a^{2}+b^{2}$的最小值为( )
A．$\dfrac{1}{8}$ B．$\dfrac{1}{4}$ C．$\dfrac{1}{2}$ D．1
答案：$C$
分析：由题意分析得$b-a=1$，所以$a^2+b^2=\dfrac{(a-b)^2+(a+b)^2}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$，即可得结论．
解：当$x < -a$时$x+a < 0$，当$x > -a$时$x+a > 0$，
当$x < 1-b$时$\ln (x+b) < 0$，当$x > 1-b$时$\ln (x+b) > 0$，
所以要使$f(x)\geqslant 0$，必须$-a=1-b$，即$b-a=1$，
所以$a^2+b^2=\dfrac{(a-b)^2+(a+b)^2}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$，当且仅当$a=-\dfrac{1}{2}$，$b=\dfrac{1}{2}$时等号成立．
故选：$C$．
点评：本题考查不等式性质的应用，属于中档题．
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