2024年高考数学新高考Ⅱ-8

（5分）设函数

$f(x)=(x+a)\ln (x+b)$ ，若

$f(x)\geqslant 0$ ，则

$a^{2}+b^{2}$ 的最小值为(　　)
A．

$\dfrac{1}{8}$ B．

$\dfrac{1}{4}$ C．

$\dfrac{1}{2}$ D．1
答案：

$C$
分析：由题意分析得

$b-a=1$ ，所以

$a^2+b^2=\dfrac{(a-b)^2+(a+b)^2}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$ ，即可得结论．
解：当

$x < -a$ 时

$x+a < 0$ ，当

$x > -a$ 时

$x+a > 0$ ，
当

$x < 1-b$ 时

$\ln (x+b) < 0$ ，当

$x > 1-b$ 时

$\ln (x+b) > 0$ ，
所以要使

$f(x)\geqslant 0$ ，必须

$-a=1-b$ ，即

$b-a=1$ ，
所以

$a^2+b^2=\dfrac{(a-b)^2+(a+b)^2}{2}\geqslant \dfrac{1}{2}$ ，当且仅当

$a=-\dfrac{1}{2}$ ，

$b=\dfrac{1}{2}$ 时等号成立．
故选：

$C$ ．
点评：本题考查不等式性质的应用，属于中档题．

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