2022年北京

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2022年高考数学北京1（4分）已知全集

$U=\{x\vert -3 < x < 3\}$ ，集合

$A=\{x\vert -2 < x\leqslant 1\}$ ，则

$\complement _{U}A=($ 　　)
A．

$(-2$ ，

$1]$ B．

$(-3,-2)\bigcup{[}1$ ，

$3)$ C．

$[-2$ ，

$1)$ D．

$(-3$ ，

$-2]\bigcup (1,3)$ 【答案详解】

2022年高考数学北京2（4分）若复数

$z$ 满足

$i\cdot z=3-4i$ ，则

$\vert z\vert =($ 　　)
A．1 B．5 C．7 D．25【答案详解】

2022年高考数学北京3（4分）若直线

$2x+y-1=0$ 是圆

$(x-a)^{2}+y^{2}=1$ 的一条对称轴，则

$a=($ 　　)
A．

$\dfrac{1}{2}$ B．

$-\dfrac{1}{2}$ C．1 D．

$-1$ 【答案详解】

2022年高考数学北京4（4分）已知函数

$f(x)=\dfrac{1}{1+{2^x}}$ ，则对任意实数

$x$ ，有(　　)
A．

$f(-x)+f(x)=0$ B．

$f(-x)-f(x)=0$
C．

$f(-x)+f(x)=1$ D．

$f(-x)-f(x)=\dfrac{1}{3}$ 【答案详解】

2022年高考数学北京5（4分）已知函数

$f(x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$ ，则(　　)
A．

$f(x)$ 在

$(-\dfrac{\pi }{2}$ ，

$-\dfrac{\pi }{6})$ 上单调递减
B．

$f(x)$ 在

$(-\dfrac{\pi }{4}$ ，

$\dfrac{\pi }{12})$ 上单调递增
C．

$f(x)$ 在

$(0,\dfrac{\pi }{3})$ 上单调递减
D．

$f(x)$ 在

$(\dfrac{\pi }{4}$ ，

$\dfrac{7\pi }{12})$ 上单调递增【答案详解】

2022年高考数学北京6（4分）设

$\{a_{n}\}$ 是公差不为0的无穷等差数列，则“

$\{a_{n}\}$ 为递增数列”是“存在正整数

$N_{0}$ ，当

$n > N_{0}$ 时，

$a_{n} > 0$ ”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案详解】

2022年高考数学北京7（4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与

$T$ 和

$lgP$ 的关系，其中

$T$ 表示温度，单位是

$K$ ；

$P$ 表示压强，单位是

$bar$ ．下列结论中正确的是(　　)

A．当

$T=220$ ，

$P=1026$ 时，二氧化碳处于液态
B．当

$T=270$ ，

$P=128$ 时，二氧化碳处于气态
C．当

$T=300$ ，

$P=9987$ 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当

$T=360$ ，

$P=729$ 时，二氧化碳处于超临界状态【答案详解】

2022年高考数学北京8（4分）若

$(2x-1)^{4}=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ，则

$a_{0}+a_{2}+a_{4}=($ 　　)
A．40 B．41 C．

$-40$ D．

$-41$ 【答案详解】

2022年高考数学北京9（4分）已知正三棱锥

$P-ABC$ 的六条棱长均为6，

$S$ 是

$\Delta ABC$ 及其内部的点构成的集合．设集合

$T=\{Q\in S\vert PQ\leqslant 5\}$ ，则

$T$ 表示的区域的面积为(　　)
A．

$\dfrac{3\pi }{4}$ B．

$\pi$ C．

$2\pi$ D．

$3\pi$ 【答案详解】

2022年高考数学北京10（4分）在

$\Delta ABC$ 中，

$AC=3$ ，

$BC=4$ ，

$\angle C=90^\circ$ ．

$P$ 为

$\Delta ABC$ 所在平面内的动点，且

$PC=1$ ，则

$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 的取值范围是(　　)
A．

$[-5$ ，

$3]$ B．

$[-3$ ，

$5]$ C．

$[-6$ ，

$4]$ D．

$[-4$ ，

$6]$ 【答案详解】

2022年高考数学北京11（5分）函数

$f(x)=\dfrac{1}{x}+\sqrt{1-x}$ 的定义域是____．
【答案详解】

2022年高考数学北京12（5分）已知双曲线

$y^{2}+\dfrac{x^2}{m}=1$ 的渐近线方程为

$y=\pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}x$ ，则

$m=$ ____．【答案详解】

2022年高考数学北京13（5分）若函数

$f(x)=A\sin x-\sqrt{3}\cos x$ 的一个零点为

$\dfrac{\pi }{3}$ ，则

$A=$ ____；

$f({\dfrac{\pi }{12}})=$ ____．
【答案详解】

2022年高考数学北京14（5分）设函数

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-ax+1,x < a,}\\ {{{(x-2)}^2},x\geqslant a\cdot }\end{array}\right.$ 若

$f(x)$ 存在最小值，则

$a$ 的一个取值为____；

$a$ 的最大值为____．【答案详解】

2022年高考数学北京15（5分）已知数列

$\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，其前

$n$ 项和

$S_{n}$ 满足

$a_{n}\cdot S_{n}=9(n=1$ ，2，

$\ldots )$ ．给出下列四个结论：
①

$\{a_{n}\}$ 的第2项小于3；
②

$\{a_{n}\}$ 为等比数列；
③

$\{a_{n}\}$ 为递减数列；
④

$\{a_{n}\}$ 中存在小于

$\dfrac{1}{100}$ 的项．
其中所有正确结论的序号是　①③④　．【答案详解】

2022年高考数学北京16（13分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$ ．
（Ⅰ）求

$\angle C$ ；
（Ⅱ）若

$b=6$ ，且

$\Delta ABC$ 的面积为

$6\sqrt{3}$ ，求

$\Delta ABC$ 的周长．【答案详解】

2022年高考数学北京17（14分）如图，在三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧面

$BCC_{1}B_{1}$ 为正方形，平面

$BCC_{1}B_{1}\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$AB=BC=2$ ，

$M$ ，

$N$ 分别为

$A_{1}B_{1}$ ，

$AC$ 的中点．
（Ⅰ）求证：

$MN//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线

$AB$ 与平面

$BMN$ 所成角的正弦值．
条件①：

$AB\bot MN$ ；
条件②：

$BM=MN$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

【答案详解】

2022年高考数学北京18（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到

$9.50m$ 以上（含

$9.50m)$ 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：

$m):$
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设

$X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计

$X$ 的数学期望

$EX$ ；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）【答案详解】

2022年高考数学北京19（15分）已知椭圆

$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的一个顶点为

$A(0,1)$ ，焦距为

$2\sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆

$E$ 的方程；
（Ⅱ）过点

$P(-2,1)$ 作斜率为

$k$ 的直线与椭圆

$E$ 交于不同的两点

$B$ ，

$C$ ，直线

$AB$ ，

$AC$ 分别与

$x$ 轴交于点

$M$ ，

$N$ ．当

$\vert MN\vert =2$ 时，求

$k$ 的值．【答案详解】

2022年高考数学北京20（15分）已知函数

$f(x)=e^{x}\ln (1+x)$ ．
（Ⅰ）求曲线

$y=f(x)$ 在点

$(0$ ，

$f(0))$ 处的切线方程；
（Ⅱ）设

$g(x)=f\prime (x)$ ，讨论函数

$g(x)$ 在

$[0$ ，

$+\infty )$ 上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的

$s$ ，

$t\in (0,+\infty )$ ，有

$f(s+t) > f(s)+f(t)$ ．【答案详解】

2022年高考数学北京21（15分）已知

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数

$m$ ，若对任意的

$n\in \{1$ ，2，

$\ldots$ ，

$m\}$ ，在

$Q$ 中存在

$a_{i}$ ，

$a_{i+1}$ ，

$a_{i+2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{i+j}(j\geqslant 0)$ ，使得

$a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots +a_{i+j}=n$ ，则称

$Q$ 为

$m-$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断

$Q:2$ ，1，4是否为

$5-$ 连续可表数列？是否为

$6-$ 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为

$8-$ 连续可表数列，求证：

$k$ 的最小值为4；
（Ⅲ）若

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为

$20-$ 连续可表数列，且

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$ ，求证：

$k\geqslant 7$ ．【答案详解】

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