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2022年高考数学北京18

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（13分）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到

$9.50m$ 以上（含

$9.50m)$ 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：

$m):$
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设

$X$ 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计

$X$ 的数学期望

$EX$ ；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
分析：（Ⅰ）用频率估计概率，即可求出甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率．
（Ⅱ）分别求出甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率，

$X$ 的所有可能取值为0，1，2，3，结合独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，再利用期望公式即可求出

$EX$ ．
（Ⅲ）丙夺冠概率估计值最大，因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩，比赛一次，丙获得9.85的概率为

$\dfrac{1}{4}$ ，甲获得9.80的概率为

$\dfrac{1}{10}$ ，乙获得9.78的概率为

$\dfrac{1}{6}$ ，并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利，所以丙冠军的概率估计值最大．
解答：解：（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率

$\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}$ ．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为

$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ ，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为

$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ ，

$X$ 的所有可能取值为0，1，2，3，
则

$P(X=0)=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{20}$ ，

$P(X=1)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{20}=\dfrac{2}{5}$ ，

$P(X=2)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{20}$ ，

$P(X=3)=\dfrac{2}{5}\times \dfrac{1}{2}\times \dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}$ ，

$\therefore EX=0\times \dfrac{3}{20}+1\times \dfrac{8}{20}+2\times \dfrac{7}{20}+3\times \dfrac{2}{20}=\dfrac{7}{5}$ ．
（Ⅲ）由题中数据可知，乙与丙获得优秀奖的概率较大，均为

$\dfrac{1}{2}$ ，且丙投出过三人成绩中的最大值

$9.85m$ ，
在三人中有一定优势，
故如果发挥较好的话丙获得的概率估计值最大．
点评：本题主要考查了古典概型的概率公式，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．

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