2022年高考数学北京16

（13分）在

$\Delta ABC$ 中，

$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$ ．
（Ⅰ）求

$\angle C$ ；
（Ⅱ）若

$b=6$ ，且

$\Delta ABC$ 的面积为

$6\sqrt{3}$ ，求

$\Delta ABC$ 的周长．
分析：（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得

$\cos C$ ，进一步计算可得角

$C$ ；（Ⅱ）根据三角形面积求得

$a$ ，再根据余弦定理求得

$c$ ，相加可得三角形的周长．
解答：解：（Ⅰ）

$\because \sin 2C=\sqrt{3}\sin C$ ，

$\therefore 2\sin C\cos C=\sqrt{3}\sin C$ ，
又

$\sin C\ne 0$ ，

$\therefore 2\cos C=\sqrt{3}$ ，

$\therefore \cos C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\because 0 < C < \pi$ ，

$\therefore C=\dfrac{\pi }{6}$ ；
（Ⅱ）

$\because \Delta ABC$ 的面积为

$6\sqrt{3}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}ab\sin C=6\sqrt{3}$ ，
又

$b=6$ ，

$C=\dfrac{\pi }{6}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{1}{2}\times a\times 6\times \dfrac{1}{2}=6\sqrt{3}$ ，

$\therefore a=4\sqrt{3}$ ，
又

$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$ ，

$\therefore$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{(4\sqrt{3})^{2}+{6}^{2}-{c}^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 6}$ ，

$\therefore c=2\sqrt{3}$ ，

$\therefore a+b+c=6+6\sqrt{3}$ ，

$\therefore \Delta ABC$ 的周长为

$6+6\sqrt{3}$ ．
点评：本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．

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