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2022年高考数学北京15<-->2022年高考数学北京17
（13分）在$\Delta ABC$中，$\sin 2C=\sqrt{3}\sin C$．
（Ⅰ）求$\angle C$；
（Ⅱ）若$b=6$，且$\Delta ABC$的面积为$6\sqrt{3}$，求$\Delta ABC$的周长．
分析：（Ⅰ）根据二倍角公式化简可得$\cos C$，进一步计算可得角$C$；（Ⅱ）根据三角形面积求得$a$，再根据余弦定理求得$c$，相加可得三角形的周长．
解答：解：（Ⅰ）$\because \sin 2C=\sqrt{3}\sin C$，
$\therefore 2\sin C\cos C=\sqrt{3}\sin C$，
又$\sin C\ne 0$，$\therefore 2\cos C=\sqrt{3}$，
$\therefore \cos C=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，$\because 0 < C < \pi$，
$\therefore C=\dfrac{\pi }{6}$；
（Ⅱ）$\because \Delta ABC$的面积为$6\sqrt{3}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}ab\sin C=6\sqrt{3}$，
又$b=6$，$C=\dfrac{\pi }{6}$，
$\therefore$$\dfrac{1}{2}\times a\times 6\times \dfrac{1}{2}=6\sqrt{3}$，
$\therefore a=4\sqrt{3}$，
又$\cos C=\dfrac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
$\therefore$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{(4\sqrt{3})^{2}+{6}^{2}-{c}^{2}}{2\times 4\sqrt{3}\times 6}$，
$\therefore c=2\sqrt{3}$，
$\therefore a+b+c=6+6\sqrt{3}$，
$\therefore \Delta ABC$的周长为$6+6\sqrt{3}$．
点评：本题考查了三角形面积公式和余弦定理的应用，属于中档题．
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