首页 > 数学 > 高考题 > 2022 > 2022年北京

2022年高考数学北京21

2022年高考数学北京20<-->返回列表

（15分）已知

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为有穷整数数列．给定正整数

$m$ ，若对任意的

$n\in \{1$ ，2，

$\ldots$ ，

$m\}$ ，在

$Q$ 中存在

$a_{i}$ ，

$a_{i+1}$ ，

$a_{i+2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{i+j}(j\geqslant 0)$ ，使得

$a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots +a_{i+j}=n$ ，则称

$Q$ 为

$m-$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断

$Q:2$ ，1，4是否为

$5-$ 连续可表数列？是否为

$6-$ 连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为

$8-$ 连续可表数列，求证：

$k$ 的最小值为4；
（Ⅲ）若

$Q:a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$\ldots$ ，

$a_{k}$ 为

$20-$ 连续可表数列，且

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$ ，求证：

$k\geqslant 7$ ．
分析：（Ⅰ）直接根据

$m-$ 连续可表数列的定义即可判断；
（Ⅱ）采用反证法证明，即假设

$k$ 的值为3，结合

$Q$ 是

$8-$ 连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；
（Ⅲ）首先

$m-$ 连续可表数列的定义，证明得出

$k\geqslant 6$ ，然后验证

$k=6$ 是否成立，进而得出所证的结论．
解答：解：（Ⅰ）若

$m=5$ ，则对于任意的

$n\in \{1$ ，2，3，4，

$5\}$ ，

$a_{2}=1$ ，

$a_{1}=2$ ，

$a_{1}+a_{2}=2+1=3$ ，

$a_{3}=4$ ，

$a_{2}+a_{3}=1+4=5$ ，
所以

$Q$ 是

$5-$ 连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以

$Q$ 不是

$6-$ 连续可表数列；
（Ⅱ）假设

$k$ 的值为3，则

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ 最多能表示

$a_{1}$ ，

$a_{2}$ ，

$a_{3}$ ，

$a_{1}+a_{2}$ ，

$a_{1}+a_{3}$ ，

$a_{2}+a_{3}$ ，

$a_{1}+a_{2}+a_{3}$ ，共7个数字，
与

$Q$ 是

$8-$ 连续可表数列矛盾，故

$k\geqslant 4$ ；
现构造

$Q:4$ ，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在

$k=4$ 满足题意．
故

$k$ 的最小值为4．
（Ⅲ）先证明

$k\geqslant 6$ ．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示

$5+4+3+2+1=15$ 个正整数，不能表示20个正整数，即

$k\geqslant 6$ ．
若

$k=6$ ，最多可以表示

$6+5+4+3+2+1=21$ 个正整数，
由于

$Q$ 为

$20-$ 连续可表数列，且

$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$ ，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表

$1-20$ 的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表

$1-20$ 的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
当

$k=7$ 时，数列1，2，4，5，8，

$-2$ ，

$-1$ 满足题意，
当

$k > 7$ 时，数列1，2，4，6，8，

$-2$ ，

$-1$ ，

$a_{k}=\cdot \cdot \cdot =a_{n}=0$ ，所以

$k\geqslant 7$ 符合题意，
故

$k\geqslant 7$ ．
点评：本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．

2022年高考数学北京20<-->返回列表

全网搜索"2022年高考数学北京21"相关

相关知识

无相关信息

学习笔记（共有 0 条）