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（15分）已知$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为有穷整数数列．给定正整数$m$，若对任意的$n\in \{1$，2，$\ldots$，$m\}$，在$Q$中存在$a_{i}$，$a_{i+1}$，$a_{i+2}$，$\ldots$，$a_{i+j}(j\geqslant 0)$，使得$a_{i}+a_{i+1}+a_{i+2}+\ldots +a_{i+j}=n$，则称$Q$为$m-$连续可表数列．
（Ⅰ）判断$Q:2$，1，4是否为$5-$连续可表数列？是否为$6-$连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为$8-$连续可表数列，求证：$k$的最小值为4；
（Ⅲ）若$Q:a_{1}$，$a_{2}$，$\ldots$，$a_{k}$为$20-$连续可表数列，且$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$，求证：$k\geqslant 7$．
分析：（Ⅰ）直接根据$m-$连续可表数列的定义即可判断；
（Ⅱ）采用反证法证明，即假设$k$的值为3，结合$Q$是$8-$连续可表数列的定义推出矛盾，进而得出证明；
（Ⅲ）首先$m-$连续可表数列的定义，证明得出$k\geqslant 6$，然后验证$k=6$是否成立，进而得出所证的结论．
解答：解：（Ⅰ）若$m=5$，则对于任意的$n\in \{1$，2，3，4，$5\}$，
$a_{2}=1$，$a_{1}=2$，$a_{1}+a_{2}=2+1=3$，$a_{3}=4$，$a_{2}+a_{3}=1+4=5$，
所以$Q$是$5-$连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以$Q$不是$6-$连续可表数列；
（Ⅱ）假设$k$的值为3，则$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$ 最多能表示$a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{1}+a_{2}$，$a_{1}+a_{3}$，$a_{2}+a_{3}$，$a_{1}+a_{2}+a_{3}$，共7个数字，
与$Q$是$8-$连续可表数列矛盾，故$k\geqslant 4$；
现构造$Q:4$，2，1，5可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在$k=4$满足题意．
故$k$的最小值为4．
（Ⅲ）先证明$k\geqslant 6$．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示$5+4+3+2+1=15$个正整数，不能表示20个正整数，即$k\geqslant 6$．
若$k=6$，最多可以表示$6+5+4+3+2+1=21$个正整数，
由于$Q$为$20-$连续可表数列，且$a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k} < 20$，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表$1-20$的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表$1-20$的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
当$k=7$时，数列1，2，4，5，8，$-2$，$-1$满足题意，
当$k > 7$时，数列1，2，4，6，8，$-2$，$-1$，$a_{k}=\cdot \cdot \cdot =a_{n}=0$，所以$k\geqslant 7$符合题意，
故$k\geqslant 7$．
点评：本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
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