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2022年高考数学北京17

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（14分）如图，在三棱柱

$ABC-A_{1}B_{1}C_{1}$ 中，侧面

$BCC_{1}B_{1}$ 为正方形，平面

$BCC_{1}B_{1}\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$AB=BC=2$ ，

$M$ ，

$N$ 分别为

$A_{1}B_{1}$ ，

$AC$ 的中点．
（Ⅰ）求证：

$MN//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线

$AB$ 与平面

$BMN$ 所成角的正弦值．
条件①：

$AB\bot MN$ ；
条件②：

$BM=MN$ ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

分析：（1）通过证面面平证线面平行；
（2）通过证明

$BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 两两垂直，从而建立以

$B$ 为坐标原点，

$BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值．
解答：解：

$(I)$ 证明：取

$AB$ 中点

$K$ ，连接

$NK$ ，

$MK$ ，

$\because M$ 为

$A_{1}B_{1}$ 的中点．

$\therefore B_{1}M//BK$ ，且

$B_{1}M=BK$ ，

$\therefore$ 四边形

$BKMB_{1}$ 是平行四边形，故

$MK//BB_{1}$ ，

$MK\not\subsetset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；

$BB_{1}\subset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore MK//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\because K$ 是

$AB$ 中点，

$N$ 是

$AC$ 的点，

$\therefore NK//BC$ ，

$\because NK\not\subsetset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；

$BC\subset$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，

$\therefore NK//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，又

$NK\bigcap MK=K$ ，

$\therefore$ 平面

$NMK//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ，
又

$MN\subset$ 平面

$NMK$ ，

$\therefore MN//$ 平面

$BCC_{1}B_{1}$ ；

$(II)\because$ 侧面

$BCC_{1}B_{1}$ 为正方形，平面

$BCC_{1}B_{1}\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，平面

$BCC_{1}B_{1}\bigcap$ 平面

$ABB_{1}A_{1}=BB_{1}$ ，

$\therefore CB\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$\therefore CB\bot AB$ ，又

$NK//BC$ ，

$\therefore AB\bot NK$ ，
若选①：

$AB\bot MN$ ；又

$MN\bigcap NK=N$ ，

$\therefore AB\bot$ 平面

$MNK$ ，
又

$MK\subset$ 平面

$MNK$ ，

$\therefore AB\bot MK$ ，又

$MK//BB_{1}$ ，

$\therefore AB\bot BB_{1}$ ，

$\therefore BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 两两垂直，
若选②：

$\because CB\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$NK//BC$ ，

$\therefore NK\bot$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$KM\subset$ 平面

$ABB_{1}A_{1}$ ，

$\therefore MK\bot NK$ ，又

$BM=MN$ ，

$NK=\dfrac{1}{2}BC$ ，

$BK=\dfrac{1}{2}AB$ ，

$\therefore \Delta BKM\cong \Delta NKM$ ，

$\therefore \angle BKM=\angle NKM=90^\circ$ ，

$\therefore AB\bot MK$ ，又

$MK//BB_{1}$ ，

$\therefore AB\bot BB_{1}$ ，

$\therefore BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 两两垂直，
以

$B$ 为坐标原点，

$BC$ ，

$BA$ ，

$BB_{1}$ 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则

$B(0$ ，0，

$0)$ ，

$N(1$ ，1，

$0)$ ，

$M(0$ ，1，

$2)$ ，

$A(0$ ，2，

$0)$ ，

$\therefore$

$\overrightarrow{BM}=(0$ ，1，

$2)$ ，

$\overrightarrow{BN}=(1$ ，1，

$0)$ ，

设平面

$BMN$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(x$ ，

$y$ ，

$z)$ ，
则

$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BM}=y+2z=0}\\ {\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BN}=x+y=0}\end{array}\right.$ ，令

$z=1$ ，则

$y=-2$ ，

$x=2$ ，

$\therefore$ 平面

$BMN$ 的一个法向量为

$\overrightarrow{n}=(2$ ，

$-2$ ，

$1)$ ，
又

$\overrightarrow{BA}=(0$ ，2，

$0)$ ，
设直线

$AB$ 与平面

$BMN$ 所成角为

$\theta$ ，

$\therefore \sin \theta =\vert \cos < \overrightarrow{n}$ ，

$\overrightarrow{BA} > \vert =\dfrac{\vert \overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{BA}\vert }{\vert \overrightarrow{n}\vert \cdot \vert \overrightarrow{BA}\vert }=\dfrac{4}{\sqrt{4+4+1}\times 2}=\dfrac{2}{3}$ ．

$\therefore$ 直线

$AB$ 与平面

$BMN$ 所成角的正弦值为

$\dfrac{2}{3}$ ．
点评：本题考查线面平行的证明，线面角的求法，属中档题．

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