2022年高考数学北京14

（5分）设函数

$f(x)=\left\{\begin{array}{l}{-ax+1,x < a,}\\ {{{(x-2)}^2},x\geqslant a\cdot }\end{array}\right.$ 若

$f(x)$ 存在最小值，则

$a$ 的一个取值为　0　；

$a$ 的最大值为　　．
分析：对函数

$f(x)$ 分段函数的分界点进行分类讨论，研究其不同图像时函数取最小值时

$a$ 的范围即可．
解答：解：当

$a < 0$ 时，函数

$f(x)$ 图像如图所示，不满足题意，

当

$a=0$ 时，函数

$f(x)$ 图像如图所示，满足题意；

当

$0 < a < 2$ 时，函数

$f(x)$ 图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足

$-a^{2}+1\geqslant 0$ ，解得：

$0 < a\leqslant 1$ ；

当

$a=2$ 时，函数

$f(x)$ 图像如图所示，不满足题意，

当

$a > 2$ 时，函数

$f(x)$ 图像如图所示，要使得函数

$f(x)$ 有最小值，需

$(a-2)^{2}\leqslant -a^{2}+1$ ，无解，故不满足题意；

综上所述：

$a$ 的取值范围是

$[0$ ，

$1]$ ，
故答案为：0，1．
点评：本题主要考查利用分段函数图像确定函数最小值是分界点的讨论，属于较难题目．

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