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2022年高考数学北京18<-->2022年高考数学北京20
（15分）已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$的一个顶点为$A(0,1)$，焦距为$2\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆$E$的方程；
（Ⅱ）过点$P(-2,1)$作斜率为$k$的直线与椭圆$E$交于不同的两点$B$，$C$，直线$AB$，$AC$分别与$x$轴交于点$M$，$N$．当$\vert MN\vert =2$时，求$k$的值．
分析：（Ⅰ）利用已知和$a$，$b$，$c$的关系，可得$a$，$b$，进而得到椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出$x_{1}+x_{2}$，$x_{1}\cdot x_{2}$，再表示出$\vert MN\vert$，化简即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\ {2c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\therefore b=1$，$c=\sqrt{3}$，$a=2$，
$\therefore$椭圆$E$的方程为$\dfrac{{x}^{2}}{4}+y^{2}=1$．
（Ⅱ）设过点$P(-2,1)$的直线为$y-1=k(x+2)$，$B(x_{1}$，$y_{1})$，$C(x_{2}$，$y_{2})$，
联立得$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k(x+2)}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{1}=1}\end{array}\right.$，即$(1+4k^{2})x^{2}+(16k^{2}+8k)x+16k^{2}+16k=0$，
$\because$直线与椭圆相交，$\therefore$△$=[(16k^{2}+8k)]^{2}-4(1+4k^{2})(16k^{2}+16k) > 0$，$\therefore k < 0$，
由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{16{k}^{2}+8k}{1+4{k}^{2}}$，$x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{16{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$，
$\because k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$，$\therefore$直线$AB$为$y=\dfrac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}x+1$，
令$y=0$，则$x=\dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}$，$\therefore M(\dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}$，$0)$，同理$N(\dfrac{{x}_{2}}{1-{y}_{2}}$，$0)$，
$\therefore \vert MN\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}-\dfrac{{x}_{2}}{1-{y}_{2}}\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{-k({x}_{1}+2)}-\dfrac{{x}_{2}}{-k({x}_{2}+2)}\vert =\vert \dfrac{1}{k}(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{2}+2}-\dfrac{{x}_{1}}{{x}_{1}+2})\vert$
$=\vert \dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{2}+2)({x}_{1}+2)}\vert =\vert \dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{2\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{[{x}_{1}{x}_{2}+2({x}_{1}+{x}_{2})+4]}\vert$
$=\vert \dfrac{2}{k}\dfrac{\sqrt{(-\dfrac{16{k}^{2}+8k}{1+4{k}^{2}})^{2}-\dfrac{4(16{k}^{2}+16k)}{1+4{k}^{2}}}}{\dfrac{16{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}-\dfrac{2(16{k}^{2}+8k)}{1+4{k}^{2}}+4}\vert =2$，
$\therefore \vert \dfrac{2}{k}\cdot \dfrac{\sqrt{-64k}}{4}\vert =2$，$\therefore \vert \dfrac{\sqrt{-k}}{k}\vert =\dfrac{1}{2}$，
$\therefore k=-4$．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．
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