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2022年高考数学北京19

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（15分）已知椭圆

$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的一个顶点为

$A(0,1)$ ，焦距为

$2\sqrt{3}$ ．
（Ⅰ）求椭圆

$E$ 的方程；
（Ⅱ）过点

$P(-2,1)$ 作斜率为

$k$ 的直线与椭圆

$E$ 交于不同的两点

$B$ ，

$C$ ，直线

$AB$ ，

$AC$ 分别与

$x$ 轴交于点

$M$ ，

$N$ ．当

$\vert MN\vert =2$ 时，求

$k$ 的值．
分析：（Ⅰ）利用已知和

$a$ ，

$b$ ，

$c$ 的关系，可得

$a$ ，

$b$ ，进而得到椭圆方程．
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程，再利用韦达定理求出

$x_{1}+x_{2}$ ，

$x_{1}\cdot x_{2}$ ，再表示出

$\vert MN\vert$ ，化简即可．
解答：解：（Ⅰ）由题意得，

$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\ {2c=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$ ，

$\therefore b=1$ ，

$c=\sqrt{3}$ ，

$a=2$ ，

$\therefore$ 椭圆

$E$ 的方程为

$\dfrac{{x}^{2}}{4}+y^{2}=1$ ．
（Ⅱ）设过点

$P(-2,1)$ 的直线为

$y-1=k(x+2)$ ，

$B(x_{1}$ ，

$y_{1})$ ，

$C(x_{2}$ ，

$y_{2})$ ，
联立得

$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k(x+2)}\\ {\dfrac{{x}^{2}}{4}+\dfrac{{y}^{2}}{1}=1}\end{array}\right.$ ，即

$(1+4k^{2})x^{2}+(16k^{2}+8k)x+16k^{2}+16k=0$ ，

$\because$ 直线与椭圆相交，

$\therefore$ △

$=[(16k^{2}+8k)]^{2}-4(1+4k^{2})(16k^{2}+16k) > 0$ ，

$\therefore k < 0$ ，
由韦达定理得

$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{16{k}^{2}+8k}{1+4{k}^{2}}$ ，

$x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{16{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}$ ，

$\because k_{AB}=\dfrac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}$ ，

$\therefore$ 直线

$AB$ 为

$y=\dfrac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}}x+1$ ，
令

$y=0$ ，则

$x=\dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}$ ，

$\therefore M(\dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}$ ，

$0)$ ，同理

$N(\dfrac{{x}_{2}}{1-{y}_{2}}$ ，

$0)$ ，

$\therefore \vert MN\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{1-{y}_{1}}-\dfrac{{x}_{2}}{1-{y}_{2}}\vert =\vert \dfrac{{x}_{1}}{-k({x}_{1}+2)}-\dfrac{{x}_{2}}{-k({x}_{2}+2)}\vert =\vert \dfrac{1}{k}(\dfrac{{x}_{2}}{{x}_{2}+2}-\dfrac{{x}_{1}}{{x}_{1}+2})\vert$

$=\vert \dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{2({x}_{2}-{x}_{1})}{({x}_{2}+2)({x}_{1}+2)}\vert =\vert \dfrac{1}{k}\cdot \dfrac{2\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}}{[{x}_{1}{x}_{2}+2({x}_{1}+{x}_{2})+4]}\vert$

$=\vert \dfrac{2}{k}\dfrac{\sqrt{(-\dfrac{16{k}^{2}+8k}{1+4{k}^{2}})^{2}-\dfrac{4(16{k}^{2}+16k)}{1+4{k}^{2}}}}{\dfrac{16{k}^{2}+16k}{1+4{k}^{2}}-\dfrac{2(16{k}^{2}+8k)}{1+4{k}^{2}}+4}\vert =2$ ，

$\therefore \vert \dfrac{2}{k}\cdot \dfrac{\sqrt{-64k}}{4}\vert =2$ ，

$\therefore \vert \dfrac{\sqrt{-k}}{k}\vert =\dfrac{1}{2}$ ，

$\therefore k=-4$ ．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，考查联立法和韦达定理、方程思想和运算能力，是一道综合题．

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